2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066
第六十六课时 随机变量的数学期望与方差
课前预习案
考纲要求
1.理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题． 2.理解二项分布、超几何分步的数学期望与方差.
基础知识梳理
1． 离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，?，xn，这些值对应的概率是p1，p2，?，pn. (1)数学期望：
称E(X)＝ 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的 ． (2)方差：
称D(X)＝ 叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的 (或说离散程度)，
D(X)的算术平方根D?X?叫做离散型随机变量X的标准差． 2． 二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差
期望 变量X服从二点分布 X～B(n，p) X服从参数为N，M， n的超几何分布 方差 预习自测
1． 若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.
ξ P 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5 x 2
2．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到3
乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若1
P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
123． 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ P
7 x 8 0.1 9 0.3 10 y 1
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已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为 ( ) A．0.4
B．0.6
C．0.7
D．0.9
X B．4
C．－1
D．1
P
－1 1 20 1 31 1 64． 已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为 ( )
7A. 3
5． 设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则
( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
课堂探究案考点1 离散型随机变量的均值、方差
典型例题
【典例1】(2012年高考湖北卷)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X 工期延误天数Y 0 2 6 10 X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【变式1】某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：
(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．
考点2 二项分布的均值、方差
【典例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．
2
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【变式2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差D?ξ?为(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
考点3 均值与方差的应用
11
【典例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、62
1
；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0 年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润． (1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)； (2)当E(X1) 【变式3】 A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 P (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 6. 2 (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 当堂检测 1． 已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为 ( ) X P A.5 7 2．已知X的分布列为且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a的值为 ( ) 3 A．1 3 B．2 C．3 D．4 X P －1 1 20 1 31 1 6B．6 C．7 D．8 4 0.5 a 0.1 9 b 2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066 3． 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的 期望值为 A．2.44 ( ) D．2.4 B．3.376 C．2.376 4． 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设 学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是 ( ) 7 A.0，12 () 71 B.12，1 C.0，2 ()() 1 D.2，1 () 5． 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的 均值是________． 6． 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________. 7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表： 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两 “？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________. 课后拓展案 A组全员必做题 x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 个 2142 1． 若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1 3339 11 D. 3 ( ) 5A. 37B. 3 C．3 2． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中， 记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( ) 8A. 9 3B. 5 2C. 5 1D. 3 3． 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次 21 得分的均值为2，则＋的最小值为 a3bA.32 3 B.28 3 C.14 3 ( ) D.16 3 4． 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望 E(ξ)＝________. 5． 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学 期望为________． 6．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这 三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、221 射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响． 332(1)求A能够入选的概率； (2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望． 4 2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066 B组提高选做题 1． 设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－ 的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________. 2．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是 等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A片区房源的概率； (2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望． 3.(2012年高考新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式． (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 55 ，0，，3，22，用ξ表示坐标原点到l22 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 5