2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066
参考答案
201
预习自测1．【答案】【解析】根据概率之和为1，求出x＝，则E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋?＋5x
918
＝40x＝20
9
.
2．【答案】53【解析】由题意知P(X＝0)＝111
3(1－p)2＝12，∴p＝2
.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 E(X)＝0×112＋1×13＋2×51512＋3×6＝3. P 115112 3 12 6 3．【答案】 A
【解析】 由??x＋0.1＋0.3＋y＝1
?7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9
，可得y＝0.4.
4． 【答案】 A【解析】 E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2×(－1)
7
3＋3＝3.
5． 【答案】 A【解析】 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴??n＝8，
?p＝0.2.
典型例题
【典例1】【解析】 (1)由已知条件和概率的加法公式有P(X<300)＝0.3，
P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为
Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝
P?300≤X<900?P?X≥300?
＝0.60.7＝6
7. 故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6
7.
【变式1】【解析】 (1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p＝A343143＝8；
(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，
则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C1332
43＝2764，P(ξ＝2)＝C23433＝9C33164，P(ξ＝3)＝43＝64
.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P 27279164 64 64 64 数学期望E(ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×91364＋3×64＝4. 【典例2】【解析】(1)随机变量X的分布列为
6
2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066
X 0 1 P 0.2 0.8 因为X服从二点分布，故E(X)＝p＝0.8，D(X)＝p(1－p)＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，
即Y～B(10，0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6. 探究提高 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
311
【变式2】【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.
222ξ的分布列为
ξ P 0 1 641 6 642 15 643 20 644 15 645 6 646 1 64(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得 1＋6＋15＋2021P(A)＝＝
6432
【典例3】【解析】 (1)X1的概率分布列为
X1 P 111
E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
623由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布列为
X P 故X2的概率分布列为
X2 P 1.3 (1－p)2 1.25 2p(1－p) 0.2 p2 0 (1－p)2 1 2p(1－p) 2 p2 1.2 1 61.18 1 21.17 1 3所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2 ＝－p2－0.1p＋1.3.
(2)由E(X1) 因为0 Y1 P Y2 P E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. xx100－x?(2)f(x)＝D100Y1＋D?Y2＝100 ?100? 2 0.2 8 0.5 12 0.3 5 0.8 10 0.2 ()100－x?44 D(Y)＝[x＋3(100－x)]＝(4x－600x＋3×100)． ()D(Y)＋?100100?100? 2 1 2 2 22 2 22 2 7 2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066 600 当且仅当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值． 2×4 当堂检测 1． 【答案】C 【解析】由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7. 1111 2．【答案】B【解析】先求出E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 2363 17 再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3.∴＝a×－3＋3.解得a＝2. 33．【答案】C 【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为 X P 3 0.6 2 0.24 1 0.096 0 0.064 () ∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 4． 【答案】C 【解析】由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2， 51 则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)， 221 可得p∈0，2. 5． 【答案】 0.7 【解析】 E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. ()119119 6． 【答案】【解析】由题意知取到次品的概率为，∴X～B3，4，∴D(X)＝3××1－4＝. 164416 7．【答案】2【解析】设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. A组全员必做题 1． 【答案】C 【解析】分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得： 214 ?x1·＋x2·＝，33?3 ?424x1－2·＋x2－?333? ()()()()2 12 ·＝，39 5?x＝1?3解得? 2x2＝??3 ξ P ?x1＝1，?x1＝1， ?或又∵x1 bb <0，即>0，也就是a，b必须同号， 2aa 2．【答案】A【解析】∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴－ ∴ξ的分布列为 0 1 31 4 92 2 91428 ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 3999 2 3． 【答案】D【解析】由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0 3 213a＋2b2112ba10 ＋又＋＝＝3＋＋＋≥＋2a3ba3b23a2b3 ()2ba16 ·＝， a2b3 8 2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066 2ba112116 当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D. a2b24a3b312 4．【答案】 5 3 【解析】因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得 53312 红球(成功)的次数，则ξ～B4，5，从而有E(ξ)＝np＝4×＝. 555．【答案】5.25 【解析】由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝ 11C233＝，P(X＝4)＝， 33＝C620C620 ()C23C2145P(X＝5)＝3＝，P(X＝6)＝3＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25. C610C62 6．解 (1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MNP，MNP，M NP，MNP. 221211121221122 ∴P(A)＝P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＝××＋××＋××＋××＝＝. 3323323323321832 答 A能够入选的概率为. 3 8， ()()()＝81 21212243216 P(入选了两人)＝C(3)(3)＝，P(入选了三人)＝C(3)(3)＝，P(入选了四人)＝C(3)＝， 818181(2)P(没有入选任何人)＝C42 4 2 021－3 4 ＝ 21 ，P(入选了一人)＝C14381 3 4 3 13 3 2 44 4 记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为 ξ P 0 1 813 000 8 816 000 24 819 000 32 8112 000 16 818243216E(ξ)＝3 000×＋6 000×＋9 000×＋12 000×＝8 000(元) 81818181所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元． B组提高选做题 4 1．【答案】 7 1 【解析】当l的斜率k为±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k为±3时，d 3152 ＝；当k为±时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： 223 ξ P 12122214所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝. 37273777 2．解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C222种，从而恰有2人申请A片4· C22284· 区房源的概率为4＝. 327 方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 9 1 32 71 22 72 32 71 1 72015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：066 1 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝. 3从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 1 P4(2)＝C243 8 ＝. ()(2)327 2 2 1322 C231143?C2C4＋C4C2? (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝4＝，P(ξ＝2)＝＝ 4327327 ?或P?ξ＝2?＝C3?24－2?＝14?，P(ξ＝3)＝C3C44C2＝4 39327?? 综上知，ξ的分布列为 114465 从而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 2727927 24121 (3 C24A34 或P?ξ＝3?＝4＝. 39 ) ξ P 1 1 272 14 273 4 93解 (1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80. ?10n－80，n<16， 所以y关于n的函数解析式为y＝?(n∈N)． ?80，n≥16 (2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为 X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝②法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y的分布列为 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝ Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X) 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 76.4. X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 44. Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X) 10