2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析
注：
1）本篇试题选自2004年—2014年数学一、二、三的考研真题，共35题； 2）本篇真题题型：选择题，填空题，解答题； 3）本篇试题包括两部分，第一部分是精选极限真题解析，第二部分是补充极限真题解析(P9)；
第一部分（精选“极限”真题解析）（共20题）
一、选择题
1、设liman?a,且a?0，则当n充分大时有（ ）
n??（A）an>
|a| 2（B）|an|?|a| 2(C) an?a?1 n(D) an?a?1 n答案：(A)，注：2014年数三（1） 解析：方法1：
liman?a?0,?liman?a?0,取?=n??n??a，则当n充分大时，2an?a??,即???an?a??,方法2：
a3a?an?，故（A）正确。 22?N?N?使?n?N，有|an?a|??
liman?a????0n??
即 a???an?a??.a?0?,可取??|a|a||a||，则a-?an?a?
222不论a>0或a<0，都有an?
2、设an?0(n?1,2,3),|a|，选A2
Sn?a1?a2?a3??an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 答案：(B)，注：2012年数二（3）
解析：由于an?0，?sn?是单调递增的，可知当数列?sn?有界时，?sn?收敛，也即limsn是
n??存在的，此时有liman?lim?sn?sn?1??limsn?limsn?1?0，也即?an?收敛。
n??n??n??n??反之，?an?收敛，?sn?却不一定有界，例如令an?1，显然有?an?收敛，但sn?n是无界的。故数列?sn?有界是数列?an?收敛的充分非必要条件，选(B)。
1
3、limn?n??1?1??2221?n2?n??1? ??n2?n2? .
注：2012年数二（10）
1n解析：利用定积分定义计算n项和：原式=lim?n??ni?11?i?2??dx?1 ?arctanx?0?1?x2411???n??4、当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）x?o(x2)?o(x3) （B）o(x)?o(x2)?o(x3) （C）o(x2)?o(x2)?o(x2) （D）o(x)?o(x2)?o(x2) 答案：（D），注：2013年数三（1）
解析：（A）xo(x2)o(x2)o(x)o(x2)o(x)o(x2x3?x2?0， （B）x3?x?)x2?0 （C）o(x2)?o(x2)o(x2)o(x2)x2?x2?x2?0 （D）
o(x)?o(x2)x2?o(x)o(x2)2o(x)?o(x2)x2?x2推不出0，如：x?o(x)则x2?1
15、当x→0+时，若ln?(1?2x),(1-cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的取值范围是（ （A）（2，??） （B）（1，2） （C）（12，1） （D）（0，12） 答案：B，注：2014年数二（1） 12解析：当x→0+
时，∵ln??1?2x?~?2x??，(1?cosx)?~(1112x2)??(12)?·x? ，
∴由??1且2??1?1???2.
6、已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则 (A) k=1,c=4 (B) k=1, c=-4 (C) k=3,c=4 (D) k=3,c=-4
答案:(C)，注：2011年数二(1）、数三（1） 解析：法1：洛必达法则（待定系数法）
）2
3sinx?sin3x3cosx?3cos3x3(cosx?1)?(cos3x?1)?lim?lim?
x?0x?0cxkckxk?1ckx?0xk?111?x2?(3x)23123?k2lim2limx?1,k?3,c?4,应选(C) k?1x?0x?0ckxck13133法2：麦克劳林公式，3sinx?sin3x3(x?x)?[3x?(3x)]?4x，故k?3,c?4
3!3!lim
x?arctanx?c，其中k，c为常数，且c?0，则（ ） kx?0x1111（A）k?2,c?? （B）k?2,c? （C）k?3,c?? （D）k?3,c?
22337、已知极限lim答案:(D)，注：2013年数一(1）
解析：用洛必达法则（或麦克劳林公式：arctanx1x?x3）
3limx?0x?arctanx?limkx?0x1?1x2x211?x2=lim?lim?ck?3,c?，，应选（D）
x?0kxk?1(1?x2)x?0kxk?13kxk?1
（x）?tan x是比x3高阶的无穷小，则8、设P?x??a?bx?cx?dx，当x?0时，若P22下列试题中错误的是（ ） （A）a?0 （B）b?1 答案：(D)，注：2014年数三（3） 解析：法1：由泰勒公式tanx?x? （C）c?0 （D）d?1 613x?0(x3)得 31a?(b?1)x?cx2?(d?)x3?o(x3)P(x)?tanx3lim?lim?0 33x?0x?0xx1a?0,b?1,c?0,d?,故选（D）.
3法2：由条件及洛必达法则可得
P(x)?tanxb?2cx?3dx2?sec2xlimtanx?0,知a?0,又lim?lim,limsec2x?1, 32x?0x?0x?0x?0x3x2c?6dx?2sec2x?tanx1?0，c?0，d?，故故b=1,同理，再用洛比达法则可得limx?06x3选（D）.
9、设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确
3
的是：
(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散 (C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. 答案:(D)，注：2007年数数一(5)、二(6）
分析：本题依据函数f(x)的性质，判断数列?un?f(n)?. 由于含有抽象函数，利用赋值法
举反例更易得出结果. 解析：取f(x)??lnx，f??(x)?散，则可排除（A）；
1?0，u1??ln1?0??ln2?u2，而f(n)??lnn发2x1211，f??(x)?3?0，u1?1??u2，而f(n)?收敛，则可排除（B）；xx2n1611或取f(x)?2，f??(x)?4?0，u1?1??u2，而f(n)?2收敛，则可排除（B）
xx4n取f(x)?22取f(x)?x，f??(x)?2?0，u1?1?4?u2，而f(n)?n发散，则可排除（C）；故选
（D）. 事实上， 若u1?u2，则所
以
u2?u1f(2)?f(1)??f?(?1)?0.对任意x???1,???，因为f??(x)?0，2?12?1f?(?x)??1?f?(，)c对0任
意
?2???1,???，
f(x)?f(?1)?f?(?2)?x??1????(x???). 故选（D）.
或用反证法：若?un?f(n)?收敛，则un?1?un?0，但un?1?un?f?(?n)?f?(?1)?0，矛盾， 故(D)正确。
注：对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.
二、填空题
10、lim?2??x?0?ln(1?x)??? ． x?1x1x1lim1?xx?02x1?1x注：2013年数二(9）
limln(1?x)???x?ln(1?x)?x?0解析：lim?2??lim1??e???x?0x?0xx????x?ln(1?x)x2?e?e
12
11、极限lim(x?1)x???1x1lnx=（ ）
4
注：2010年数三(15），（10分） 解
析
：
I?lim(x?1)x???1x1lnx?limex???1ln(xx?1)lnx1，
x?1?e1x1lnxx?11lnxx，
I?limex???1(?lnx?lnlnx)lnx?limex????1?lnlnxlnx?tlnx?limet????1?lntt?e?1
12、已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)? ．
注：2008年数二（9) 解
析
：
由
1?cost12,1t?cos[2()]x1[f()]x,2x22?1xf，2x得
ex12[xf(1?cxofsx[2()x)]]lix2m?lim?fx?0x?x02(f)x2(e?1f)x()
13、若limxx?0x?0x1?lf，故ifm?((0)?2
21)(0)sinx(cosx?b)?5，则a = ，b = e?a注：2004年数三（1)
解析：本题属于已知极限求参数的反问题. 因为limxx?0sinx(cosx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以lim(ex?a)?0，得
x?0x?0e?asinxx(cosx?b)?lim(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4，因此，a = 1，
x?0ex?1x?0xa = 1. 极限化为limb = ?4.
注：一般地，已知limf(x)＝ A， g(x)(1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；
(2) 若f (x) ? 0，且A ? 0，则g(x) ? 0.
?1x2?3?0sintdt,x?014、设函数f(x)??x在x?0处连续，则a? ．
??a, x?0注：2006年数二（2)
解析：本题为已知分段函数连续反求参数的问题，直接利用函数的连续性定义即可。 由题设知，函数f(x)在 x?0处连续，则limf(x)?f(0)?a，
x?0 5