?????????而：n?(D2?D1)??f?0,即：n?D1?n??0E1?0，?n?E1?0。导体内电场
方向和法线垂直，即平行于导体表面。
???12、 设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z?x,t?（赫
?1?Z?. 兹矢量），若令????Z,证明A?2c?t?证明：A和?满足洛伦兹规范，故有
?1????A?2?0.
c?t???????Z代入洛伦兹规范，有：??1????1?Z????A?2????Z?0,即??A＝???2???tc?c?t?
??1?Z?A?2.c?t
??2、 计算题：
1、真空中有一半径为R0接地导体球，距球心为a?a?R0? 处有一点电荷Q，求空间各点的电势。
解：假设可以用球内一个假想点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q'应在OQ连线上。关键是能否选择Q'的大小和位置使得球面上
?＝0的条件使得满足？
QQ' 考虑到球面上任一点P。边界条件要求 ?'?0.式中r为Q到P的距离，
rrr'Q'因此对球面上任一点，应有 由图可看???常数。（1）r为Q到P的距离。rQ''出，只要选Q'的位置使?OQ'P~?OPQ,则
r'R0＝?常数。（2） 设Q'距球心为b，两三角形相似的条件为ra2RR0R0b?,或b?.?3?由（1）和（2）式求出 Q'??0Q.(4)（3）和（4）式确
aR0aa 16
定假想电荷Q'的位置和大小。
由Q和镜象电荷Q'激发的总电场能够满足在导体面上?＝0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点
p
的电势是：
Q??R01?QR0Q?1?Qa? 式中r?＝???'??22?4??0?rar?4??0?R2?a2?2Racos?R?b?2Rbcos?????为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，
?为OP与OQ的夹角。2、两金属小球分别带电荷?和－?，它们之间的距离为l，求小球的电荷（数值
和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。
??1??ikRB?Pesin?e?,4??0c3R解：可知赫兹振子激发的电磁场：（取球坐标原点在
??1??ikRE?Pesin?e?.24??0cR电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡，E沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：
?1?????p??cc?2?S?ReE*?H?ReB*?n?B?Bn?s23222?02?032??0cR??????22?i?n. n因子sin2?表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在??900的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向???0和??没有辐射。
3、已知海水的 ?r?1,??1s?m?1 试计算频率 v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。
解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度
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?＝1??2?????r?1????0?r??0?4??10?7?1?v?50Hz时：?1?2?v?106Hz时：?2?3?v?109Hz时：?3?22?72m
2??50?4??10?7?12?0.5m6?72??10?4??10?12?16mm9?72??10?4??10?1???2??????2???4、电荷Q均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。
解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r?a时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得
2E?ds?4?rE??Q?0,
Qr.?r?a??@? 4??0r3 因而 E?Q4??0r2,写成矢量式得 E?4343QQr3?3. 若r?a,则球面所围电荷为： ?r???r433a?a33Qr3应用高斯定理得：?E?ds?4?rE?. 3?0a2由此得 E?Qr.?r?a??*? 34??0a现在计算电场的散度。当r?a时E应取?@?式，在这区域r?0，由直接计算可得 ??r?0,?r?0? 3r 因而 ??E?Q4??0??r?0.?r?a? 3rQ4??0a??r?33Q??.?r?a?
4??0a3?0当r?a时E应取?*?式，由直接计算得 ??E? 18
5、一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为?，球内有一不带电的球形空腔，其半径为R1，偏心距离为 a，（a?R1?R）求腔内的电场。
解：这个带电系统可视为带正电????的R球与带负电的????的R1球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M之电场强度为：????????'E?r?r3?03?0?3?0??3?0????r?r?'
?a6、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为??f 求电场和束缚电荷分布。
?n??E2?E1??0,?n??H?H???,?21?*?应用于下解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把???n?D?D??,21???n??B2?B1??0.板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得 D1??f.同样把?*?式应用到上板
?f?f与介质2界面上得D2??f. 由这两式得 E1?,E2?. 束缚电荷分布于
?1?2介质表面上。在两介质界面处，?f?0，由?0?E2n?E1n???f??p得
?p??0?E2?E1????在介质
1
??0??2??0???f. ??1?与下板分界处，由?0?E2n?E1n???f??p得
?'p???f??0E1???f??1??在介质2与上板分界处，
??0??, ??1???0? ?'p'??f??0E2??f??1????.
2??' 容易验证，?p??'p??'p?0,介质整体是电中性的。
7、截面为S ，长为l的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为b ，若极
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??化强度为kx ，沿X轴 P?kxi 。求：
??（1） 求每端的束缚电荷面密度?；（2）求棒内的束缚电荷体密度?。（3）总束
缚电荷。
''解：（1）求?‘在棍端 P2n?P，P1n??? P2?P2n?01n??，P?kx '?A??P1n?A??P/x?b??kb???P1n?B?P/x?b?1?k(b?l)'B
????????P，P?kxi（2） 求?' 由 ' dp?????kdx'''（3） 求q' q'??B??AS??'Sl??k?b?l??kb?S?ksl?0
??8、两块接地的导体板间的夹角为?，当板间放一点电荷q时，试用镜像法就
?＝900、600的情形分别求其电势。
解：设点电荷q处于两导体面间?R，0?一点，两导体面间夹角为?，各象电荷处
?在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量R表示，设q及其各个象电
??荷的位置矢为R0、R1、则有 ??， R0?Rei?，
??i?2????????i?2?i?2????R1?R0e?Re，R2?R0e?Re?i?，???i?2?2????R3?R1e?Re?i?2????，??i?2?????R4?R2e?Rei?2????，??i?2?2??????R5?R3e?Rei?4????， ???i?2?2????R6?R4e?Re?i?2????，??R7?R5e?i?2?4?????Re?i?4????，??i?2?2??????R8?R6e?Rei?4????.??i???????，R1?Re，R2?Re?i?，2???i?????1） R3?Re，R4?Rei?????，
??????2???????，ei??????e?i?????，??象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为： ?R4?R3， 20