dE?4??0xdq?r2?x2?32＝
??2?r?xdr4??0?r22?x2?3
2∴ E??dE??R??2?r?xdr4??00?r2?x?3?2?1?2?0????11?R2?? 2x??当R< ??1???????22?0x??11?R2x2≈1?1R2x22，故： E??2?011?R22?R?1?(1?22x?22??R??Rq)????2224??0x4??0x?4?0x上 式表明，带电圆盘可视为位于盘心的点电荷q ，E可视为该点电荷在P点的场强。 当R>>x 时， ?2?011?R2≈０， x2则：E? ，可看成无限大带电圆板在周围产生的场强。 9—11．有一均匀带电的球壳，其内、外半径分别是a和b，电荷的体密度为ρ。试求从中心到球壳外各区域的场强。 解：设讨论的点与球心的距离为r。以带电的球壳的中心为球心，以r为半径作球形高斯面。 当r s24由高斯定理?E??q?0?3??r?a33?? ——（2） ?03a??r?2? 由（1）、（2）两式得： E??3?0?r????同理，当r>b时，作r>b为半径的高斯球面，则 E??3?0r2(b?a) 33 — 45 — 9—12． 在真空中有一无限长均匀带电圆柱体，半径为R，电荷的体密度为??。另有一与轴线平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度为+σ。今有Ａ、Ｂ两点分别距圆柱体轴线为a与b（a 解：如图9—12，A点在圆柱内其场强设为E内，由对称性分析，无限长均匀带电圆柱体之场强方向垂直于圆柱体轴线，在距轴等距处的场强E相同。如图，取一共轴高斯圆柱面S1，其半径为r (r 0??s1E内?ds???s上E内cos90ds???s下E内cos90ds?0??s側E内cos0ds 0 ?E内??ds?E内?2?rh?s側1?0?rh? 2∴ E内??2?0r （r 仿上面的方法再作高斯圆柱面S2，其半径为r (r>R)，(图中未画出)，同上分析方法得： 1??s2E外?ds?E外??s側ds?E外?2?rh??0?Rh? 2∴ E外??2?0rR （r>R时成立） 2因带正电的无限大均匀带电平板外的场强E??2?0，在A、B点处，其场强方向与 带电圆柱在A、B点处的场强反向。所以，A、B两点的合场强EA和EB分别为：EA??r?????2?2?00????R2?? ， EB?????2?r2?00???? ??欲求A、B两点的电势差，可先分别求出其电势，为此设带电圆柱体内轴线处电势为零，则： — 46 — UA???0aEA?dr??0a??r????2?2?00?R???2?dr? a?a?2?04?0?oUB?obEB?dr?2?bEB?dr??REB?dr??Rb??R2????2?r2?00???dr?????r????R?2?2?00?0??dr????R2?0lnRba???2?0?R?b??2?R4?022∴ ??R2?0UA－ＵB= ?2?0?4?0a－ ?R2?0lnRb??2?0(R?b)??4?0R2??R2?0 化简后：ＵA－ＵB= 1??b?222??R?a??Rln??b?a ??2?0?2R???9—13．一个电偶极子的l?0.02m，q?1.0?10?6C，把他放在1.0?105N?C?1的均匀电场中，其轴线与电场成300，求外电场作用于该偶极子的库仑力与力矩。 解：如图9—13，电偶极子在外电场中受电场力作用，F正?qE， F负??qE，是大小相等方向相反的平行力，即 F正??F负，∴ F合?0 力矩 Ｍ＝Ｆlsin300＝E?q?l?sin300 ＝1.0?10?1.0?10 9—14．试证明在距离电偶极子中心等距离对称之三点上，其电势的代数和为零。 证：如图9—14 ，已知A、B、C三点对电偶极子中O等距离对称，根据电偶极子电场的电势U?kpr25?6?0.02?12?1?10?3N?m cos? 设A、B、C三点与O点的距离为r，电矩p与OA的夹角为?， 则A、B、C三点的电势分别为： UA?kUB?kUc?k pr2cos? cos120cos240prpr2???? ???k?2???pr2cos120?????— 47 — 利用三角函数关系 cos?(??)=cos?cos??sin?sin? 将UB、UC中的余弦展开，并由cos120o?cos(90o?30)?-sin30??oo12 即可得证。具体证明如下： UA?UB?UC?kpr2pr2cos??kpr2?cos?120?????cos120?????????kcos??kpr2??cos1202?cos??sin120sin??cos120cos??sin120sin???????kpr2cos??kpr?2cos120cos??kpr2?pr2cos??kpr2pr2?2cos90?30pr2????cos? ?kpr2cos??k?2sin30?cos??kcos??kcos??09—15．一空气平行板电容器在充电后注入石蜡，试比较下列两种情况下该电容器内各量的变化，并填入表中。 电量Q 场强E 电势差?U 电容C 场能密度we 石腊注入前电容 器已不与电源相接 不变 减小 减小 增大 减小 石腊注入时 电容器仍与电源相接 增大 不变 不变 增大 增大 d29—16．平行板电容器的极板面积为S，间距为d，将电容器接在电源上，插入厚的均匀电介质板，其相对介电常数为ε r 。试问 解：设未插入电介质时的场强为E0， E0?Ud （U为电容器两板间的电势差） 插入电介质板后，由电位移概念，应用有电介质时的高斯定理可知，电容器内电介质内外的电位移是相等的（设为D），由电位移与场强的关系D??E可得： D??r?0E内??0E外 ， ∴ E内?1E外 ，于是得： E内E外?r?1?r （1） 又因为电介质板插入电容器后，电容器两极板间的 — 48 — 电势差不变 ∴ E内?d2?E外?d2?U?E0?d （2） 由（1）式与（2）式可得： E内E0?21??r ， E外E0?2?r1??r 1答：电容器中电介质内、外场强之比是 E内E021??rE外E02?r1??r?r。它们和插入电介质之前的场强之比分别 是 ? 和 ? 。 解法2： 插入电介质之前电容器的电容C0?q?C0U??0Sd，电容器极板上的电量 ?0SUd ，电容器内的场强E0?Ud 。 插入电介质后，可视为两个电容串联，设有电介质的电容为C1，无电介质的电容为C2 。则： C1??r?0Sd2?2?r?0Sd ， C2?C1C2?0Sd2?2?0Sd ； 。 它们串联的总电容为：C??C1?C2?2?r?0Sd??r?1?由于电压仍为U ，故电容器极板上的电量变为： q??C?U?2?r?d??r0SU?1? ， 则两个电容器上的电压分别为： U1?q?C1q?C2?2?r?0SUd??r?1?2?r?0SUd??r?1??2?r?0Sd??r?1?2?0Sd??U?r?1 U2????rU?r?1所以两个电容器内的场强分别为： E1?U1d2?2U1d?2Ud(?r?1)?E内 — 49 —