第一讲 比较分数的大小
同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
前一个差比较小，所以m＜n。
（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
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如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。
注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数
4.根据倒数比较大小。
与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。 练习1
1.比较下列各组分数的大小：
在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？
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数a。
第二讲 巧求分数
我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。
求这个自然数。
数。
例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，
个分数。
，这个分数是多少？
练习2
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是多少？
第三讲 分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。 1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数??从而使运算得到简化。
2.约分法
练习3
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3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。
例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。
4.代数法
5.分组法
8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。
答案与提示 练习3 1.3。
8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。
9.5680。
解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人??一般地，分子与分母之和等于n的有(n-1)个。分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+?+106=5671（个）
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5671+9=5680（个）。
第四讲 循环小数与分数
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化
因为40=23
×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这
个分数一定能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能
化成混循环小数的，不循环部分有几位？
分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25
，21=3×7，250=2×53
，78=2×3×13，