在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？
5.六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？
6.将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？ 7.在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？
答案与提示 练习17 1.106。
提示：操作一次，黑板上的数减少1个，数字总和减少1。经过14次操作，剩下的一个数是 （1+2+?+15）-14=106。 2.2次。
提示：若写的是奇数，则只需1次操作；若写的是大于2的偶数，则经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2。 3.51。
提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。 4.758。
提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是 6×28-1
=6×27
=768。 5.4次。
提示：将各次操作表示如下：
（1，1，1，1，1，1）—→（0，3，1，1，1，0）—→（2，2，1，1，0，0）—→（4，1，1，0，0，0）—→（6，0，0，0，0，0）。 6.6次；42次。
提示：与例5类似，当十个数按1，2，3，10，4，5，6，7，8，9排列时，交换的次数最少，要交换6次；当十个数按9，8，7，10，6，5，4，3，2，1排列时，交换的次数最多，要交换42次。 7.不能。
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解：要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。 因为（3+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现。 注：m，n可以是0或负数。 第18讲 取整计算
任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或
真分数）两部分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。比如，做
得到正确答案是2件。为了方便，我们引进符号［ ］： ［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。
与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，
（1）［a］≤a；
（2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］； （4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（ 5）若n是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。 同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。 例 1计算［13÷［π］×4］。 解：［13÷［π］×4］ ［13÷3×4］
例2 1000以内有多少个数能被7整除？
分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有
例3 求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。
与分母约分后，分母还剩两个因子3。 所以，约简后的分母是9。
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注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。因为
式中的分子都是1000，分母依次是3，3，3，?后面一个是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于
都被重复计算了，应当减去。另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上
111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。于是得到
333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。
在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方。
例6 在下面的等式中，M，n都是自然数，n最大可以取几？ 1×2×3×?×99×100＝12n×M。
分析与解：因为12=2×3，所以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3，这些因子2和因子3能“凑”
例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？ 分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。用例3的方法可求出这部分数的个数。1000与这部分数的个数之差即为所求。
=50＋25＋12＋6＋3＋1=97（个）；
出多少个12，问题就解决了。与例5类似，可求出等号左边因子2和因子3分别有
2
2
3
因为97个因子2与48个因子3最多可以“凑”出48个12，所以n最大是48。
例5求下式约简后的分母：
2.请给出三个数a，b，c，使满足：
［a］＋［b］=［a＋b］，［a］＋［c］＜［a＋c］。
分析与解：因为 6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2×3。只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。因为
3=729＜1000＜3＝2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3。
7.求下式约简后的分母：
6
7
500
500
练习18
3.在1000～2000中，有多少个数是8的倍数？ 4.500以内有多少个数能被3或者能被5整除？ 5.在 10000以内，既不是 2也不是 3也不是 5的倍数的数有多少个？
6.K是自然数，且下式是整数，求K的最大值。
答案与提示 练习18 1.55。
2.例如，a=1.4，b=1.5，c=1.6。 3.126个。
4.233个。
5.2666个。
=5000+3333+2000-1666-1000-666+333=7334， 10000-7334=2666（个）。 6.215。
解：1～699中因子7的个数为
1～2000中因子7的个数为
K=330-115=215。 7.72。
解：1～100中因子2的个数为
因子3的个数为
分子中有97个因子2和48个因子3，而分母中有100个因子2和50个因子3，所以约简后的分母有3个因子2和2个因子3，是23
×32
=72。 第19讲 近似值与估算
在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。
用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：
（1）四舍五入法。四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：7.3964?，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。
（2）去尾法。把尾数全部舍去。例如：7.3964?，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。
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（3）收尾法（进一法）。把尾数舍去后，在它的
前一位加上1。例如：7.3964?，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。 表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。
在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。 例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？
分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。 26.85×13＝349.05， 26.95×13＝350.35。
因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以
13个数之和是350。 350÷13＝26.923?
当精确到小数点后两位数时，是26.92。
例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定
它的具体数值。当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。
分析与解：真正计算出这个算式，再取近似值，几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。
若分子缩小、分母扩大，则分数变小；若分子扩大、分母缩小，则分数变大。利用这一点，使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数，有
?由0.2037? ＜原式＜0.2549?，无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大，应使范围缩小些。 分子、分母各取三位小数，有
仍然无法确定，还应使范围缩小。 分子、分母各取四位小数，有
由 0.2395?＜原式＜0.2398?知，原式小数点后三位肯定是“239”，第四位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后三位数的近似值是0.240。
由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了，范围太大，无法确定；取的位数多了，例如取十位小数，计算量太大，繁琐且没有必要。 例3 求下式的整数部分： 分析与解：对分母使用放缩法，有
所以199.1＜原式＜200，原式整数部分是199。 例4 求下式的整数部分：
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。
分析与解：在1.22×8.03， 1.23×8.02与1.24×8.01中，各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到 1.22×8.03＜1.23×8.02＜1.24×8.01。 因为1.22×8.03＞1.22×8，所以 原式＞1.22×8×3=29.28； 因为 1.24×8.01＜1.25×8，所以 原式＜1.25×8×3=30。
由29.28＜原式＜30知，原式的整数部分是29。 前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。
例5某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米） 解：0.112×（70÷5） ＝0.112×10 ＝1.12≈1.2（米） 答：导火线至少长1.2米。
此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。 例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。问：该飞机最远飞出多少千米就应返回？（精确到1千米） 解：设该飞机最远能飞出x千米，依题意有
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答：飞机最远飞出1748千米就应返回。 此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。 练习19
1.有17个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是21.3，那么精确到小数点后三位数是多少？ 2.老师在黑板上写了14个自然数，让小明计算平均数（保
留三位小数），小明计算出的答案是16.387。老师说小数点后第二位错了，其它的数字都对。正确答案应该是多少？ 3.计算下式的精确到小数点后三位数的近似值：
1357902468÷8642097531。 4.求下式的整数部分：
11×22＋12×33＋13×44＋?＋17×88。 5.求下式的整数部分：
2. 45×4.05＋2.46×4.04＋2.47×4.03＋ 2. 48×4.02＋2.49×4.01。
6.为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3
石料，以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3
，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？ 7.一条单线铁路全长240千米，每隔20千米有一个会车站（当两车相遇时，一车停在会车站内，另一车可通过）。甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行75千米，乙车每小时行45千米。为保证快车正点运行，慢车应给快车让路。为使等候时间尽量短，乙车应在出发后的第几个会车站等候甲车通过？ 答案与提示练习19 1.21.294。
提示：21.25×17=361.25，21.35×17=362.95。由361.25≤17个数之和＜362.95得到，17个数之和是362。 2.16.357。
提示：16.3×14=228.2，16.4×14=229.6。由228.2≤14个数之和＜229.6得到，14个数之和是229。 3.0.157。
4.1。
提示：设原分式的分母为A。A＝11×（11×2+12×3+13×4+?+17×8）。因为A＞11×11×（2+3+4+?+8）=11×11×35，所以
因为A＜11×17×（2+3+4+?+8）=11×17×35，所以
由上可知，原式的整数部分是1。 5.49。
提示：与例4类似。因为5个乘积都小于2.5×4，都大于2.45×4，所以2.45×4×5=49＜原式＜2.5×4×5=50。 6.18台。
提示：采用收尾法。 7.第4个。
提示：如不等候，则两车相撞时乙车行了
用去尾法得到90÷20=4.5≈4。 第20讲 数值代入法
有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件，对于答案并无影响，这时就可以采用“数值代入法”，即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入进去（当然假设的这个数应尽量方便计算），然后求出解答。
例1 足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一。问：一张门票降价多少元？
分析与解：初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数与答案无关。因为降价前后观众人数存在倍数关系，收入也存在比例关系，所以可以使用数值代入法。我们随意假设观众人数，为了方便，假设原来只有一个观众。
，则降价后每张票价为9元，每张票降价15-9＝6（元）。 例2 某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩人数比女孩人
分析与解：题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。这时总身高为： 115×（5＋6）＝1265（厘米）。
例3 甲、乙分别由A，B两地同时出发，甲、乙两人步行的速度比是7∶5。如果相向而行，那么0.5时后相遇；如果按从A到B的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？ 分析与解：设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时，则A，B两地相距（7+5）×0.5=6（千米）。
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同向而行，甲追上乙需要65÷（7—5）=3（时）。 需要说明的是，A，B两地的距离并不一定是6千米，6千米是根据假设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时而计算出来的。假设不同的速度，会得出不同的距离，因为假设的速度与计算出的距离成正比，所求的时间是“距离÷速度差”，所以不影响结论的正确性。
例4五年级三个班的人数相等，一班的男生人数与二班女生人数相等，三
几？
分析：由“三个班人数相等，一班男生数与二班女生数相等”知，一班女生数等于二班男生数，因此一、二班男生人数的和
以及一、二班女生人数的和给三班的男生人数设一个具体数值，那么就可依次求出全部男生人数以及一、二班男生人数的和（即每班人数），问题就迎刃而解了。
个班
在上面的例题中，将假设的数值代入解题过程，便得到正确答案。对于这类题目，假设不同的数值，都会得到相同的答案。还有一类题目，也可以使用数值代入法，但因为题中涉及的量不仅仅是倍数关系，所以假设的数不同，结果就不同，需要通过比较所得结果与已知结果来修正假设的数，从而得出正确解答。
例5 用绳子测量井深，把绳三折来量，井外余4米；把绳四折来量，井外余1米。求井深和绳长。
分析与解：由题意可知，三折后的绳子比四折后的绳子多4-1=3（米）。假设这根绳长12米，那么三折后的绳长
比四折后的绳长长12÷3-12÷
井深=36÷4-1=8（米）。
例6 甲车从A地到B地需行6时，乙车从B地到A地需行10时。现在甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车比乙车多行90千米，求A，B两地的距离。