（1）填空：a= _________ ，k= _________ ，点E的坐标为 _________ ； （2）设抛物线与y轴交于点C，过P作直线PM⊥y轴，垂足为M．如图2，把三角板绕着点P旋转一定角度，使其中一条直角边恰好过点C，另一条直角边与抛物线的交点为D，试问：点C、D、E三点是否在同一直线上？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q（m，n）为抛物线上的一动点，连接CF、QC，过Q作QF⊥PM，垂足为F．试探索：是否存在点Q，使得△QCF是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 22．（2005?泰州）图1是边长分别为4在一起（C与C′重合）．
和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）； 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论． （2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）； 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°（图4）； 探究：在图4中，线段C′N?E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N?E′M的值，如果有变化，请你说明理由．
23．已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．
（1）延长EG交DC于H，试说明：DH=BE． （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G（如图2），莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来． （3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度α（0＜α＜90°），再连接DF，取DF的中点G（如图3），第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．
24．（2009?朝阳）如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，﹣4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B． （1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式； （2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）； ②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？
③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2007?莆田）如图，抛物线y=
x+mx+n（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正
2
半轴交于A点，它的对称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C． （1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
（2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分； （3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．
26．Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连CP、AP，CP交AB于点O（如图①）． （1）当AC=BC时，求证：△OPB∽△PAB； （2）若BC=2，AC=b，当b为多长时，△ACB与△ABP相似？ （3）图①中，将点A沿直线AC向下运动（其余条件不变），则Rt△ABC、△PAB、△PBC都会变化，如图②所示，如果点A一直运动到BC下方，如图③所示，请在图（3）中按题意把图画完整，若BC=2，设AC=x，△BCP的面积为y1，△PAB的面积为y2，试问y1、y2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式．
27．如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，
OB=4．
（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；
（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连接MN．设△MON的面积为S△AOB的面积为S△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M， MON，△①当直线AD与⊙M相切时，试探求S△MON与S△AOB之间的关系． ②当S△M的位置关系，并说明理由． MON=S△AOB时，试判断直线AD与⊙
28．图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）． （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2））；
探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论． （2）操作：将图（1）中的△C′D′E′固定，将△ABC 移动，使顶点C落在C′D′的中点，边AC交E′D′于M，边BC交C′E′于N．若△C′D′E′的边长为a，∠ACD′=α （30°＜α＜90°）（图（3））；
探究：在图（3）中线段C′N?D′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C′N?D′M的值；如果有变化，请说明理由．
29．如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF． （1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；
（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明； （4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．
30．把一付学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G，O是AC中点，AC=8． （1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度（0≤α＜90°）得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标； （2）如图3，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N+∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其