初一数学联赛班
第3讲 换元法和待定系数法
7 年级
典型例题
一. 换元法
【例1】 分解因式：x6?28x3?27
【例2】 分解因式：(a?b)4?(a?b)4?(a2?b2)2
【例3】 分解因式：a4?44?(a?4)4
【例4】 分解因式：(y?1)4?(y?3)4?272
思维的发掘
1
能力的飞跃
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【例5】 分解因式：(y?1)3?(y?3)3?4(3y?5)
【例6】 分解因式：(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2
【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.
【例8】 分解因式：(x?1)(x?1)(x?3)(x?5)?9
思维的发掘
能力的飞跃
2
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【例9】 分解因式：(x2?7x?6)(x2?x?6)?56.
【例10】 分解因式：x4?1998x2?1999x?1998
【例11】 分解因式：4(x?5)(x?6)(x?10)(x?12)?3x2
【例12】 分解因式：(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?a(a?b?c)(a?b?c)?b(a?b?c)(b?c?a)?
c(b?c?a)(a?b?c).
思维的发掘
能力的飞跃
3
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【例13】 分解因式：(x?3)(x2?1)(x?5)?20.
【例14】 分解因式：x4?2x3?x2?1?2(x?x2).
【例15】 分解因式：(x2?y2?2x?1)2?(4y?4xy)(x2?y2?2x?1).
【例16】 分解因式：(1?xy)2?(x?y?2)(x?y?2xy).
思维的发掘
能力的飞跃
4
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【例17】 证明：对任意自然数n，都存在一个自然数m，使得mn?1是一个合数.
(1?x?x2?x3)2?x3【例18】 化简：.
1?x?x2?x3?x4
【例19】 将51995?1分解成三个整数之积，且每一个因数都大于5100.
二. 待定系数法
【例20】 分解因式：x4?x3?2x2?x?3
思维的发掘
能力的飞跃
5