《物理必修二》动能、机械能守恒 经典例题分析
[例题4]
将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷
H 入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
[解题过程]
石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
h mg(H?h)?Fh?0?0。
所以，泥对石头的平均阻力
2-7-2
F?H?h2?0.05?mg??2?10N=820N。 h0.05112mvt2?mv0?0223、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理
W?ΔEK?[例题5]
如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与
水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数??3，g取10m/s2。 2(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?
(2) 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多
2-7-4
解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力
F??mgcos?，
工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律
F?mgsin??ma
可得 a?F3?gsin??g(?cos??sin?)?10?(cos300?sin300)m/s2=2.5m/s2。 m2设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律
2v022?可得 x?m=0.8m＜4m。 2a2?2.5故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。
(2) 在工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理
12mv0, 21122可得 Wf?mgh?mv0?10?10?2J??10?2J=220J。
22Wf?mgh?
[例题6]
如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ
=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0， 所以mgR-umgS-WAB=0
即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)
[例题8]质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30的斜面顶
0
端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8m，如图所
2
示.若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动.求：（g＝10m/s）
(1)物体A着地时的速度；
(2)物体A着地后物体B沿斜面上滑的最大距离. （1）因摩擦力均不计，故A、B从静止开始运动到A着地过程，只有重力做功，系统机械能守恒，有?EK??EP，设物体A着地时的速度大小为v，因AB相连，速度大小相等，故有
1(mA?mB)v2?mAgh?mBghsin300 2又?mA?mB?m 1??2mv2?mgh?mghsin300 22gh2?10?0.8?v??m/s?2m/s
22（2）物体A着地后物体B继续以2m/s的速度沿斜面上滑，设上滑的最大距离为s，根据机械能守恒定律，有
1mv2?mgssin300 2v222?s??m?0.4m
g10[例题11]
滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，
地面上
紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ. 假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变.求：
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s. 【解】（1）设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为?，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功
W??mgcos?s??mg(L?scos?)??mgL ①
由动能定理 mg(H?h)??mgL?1mv2 ② 2离开B点时的速度 v?2g(H?h??L) ③
（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上
h12?gt122可解得 s1?s1?vt1?2h
2h(H?h??L) ④
此时必须满足 H??L?2h ⑤ 当H??L?2h ⑥ 时，滑雪者直接落到地面上， h?12gt22s2?vt2
可解得s2?2h(H?h??L) ⑦
[例题13]
如图所示，某人乘雪橇从雪坡经A点滑至B点，接
着沿水平路面滑至
C点停止．人与雪橇的总质量为70kg．表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，请根据图表中的数据解决下列问题： (1)人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为多少?
(2)设人与雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力大小(g ＝10m／s2) 【解】（1）从A到B的过程中，人与雪橇损失的机械能为:
位置 速度(m/s) 时刻(s) A 2.0 0 B 12.0 4 C 0 10 1212?E?mgh?mvA?mvB
2211×70×2.02－×70×12.02)J＝9100J 22v?vB0?12?m/s??2m/s （2）人与雪橇在Bc段做减速运动的加速度:a?Ct10?4ΔE=(70×10×20+
根据牛顿第二定律 :f=ma=70×(-2)N=-140N
○7
[例题14]
如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条
F A K 不可伸长的轻绳绕过K分别与物块A、B相连，A、B的质量分别为mA、mB。开始时系统处于静止状态。现用一水平恒力F拉物块A，使物块B上升。已知当B上升距离为h时，B的速度为v。求此过程中物块A克服摩擦力所做的功。重力加速度为g。
【解】 由于连结AB绳子在运动过程中未松，故AB有一样的速度大小，对AB系统，1
由功能关系有：Fh－W－mBgh= (mA+mB)v2
2
1
求得：W=Fh－mBgh－ (mA+mB)v2
2
B [例题16]
如图11所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆
环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。求A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s）。
2
B
R v0 A 图11
C 22【解】匀减速运动过程中，有：vA?v0??2as
（1）
2vB恰好作圆周运动时物体在最高点B满足：mg=m1 vB1＝2m/s （2）
R 假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒： 联立（1）、（3）可得 vB=3m/s
因为vB＞vB1，所以小球能通过最高点B。 小球从B点作平抛运动，有：2R＝
1212mA?2mgR?mvB （3） 2212gt （4） 2sAC?vBt （5）
由（4）、（5）得：sAC＝1.2m （6） [例题
17]
如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨
道ABC，其半径R＝5.0m，轨道在C处与水平地面相切。在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度g＝10m/s2。
【解】 设小物体的质量为m，经A处时的速度为V，由A到D经历的时
11
间为t，有mV02＝mV2＋2mgR，
22
1
2R＝gt2，
2
①
②
s＝Vt。
由①②③式并代入数据得s＝1 m ③ ④
[例题21]如图8－57所示，A、B两个物体放在光滑的水平面上，中间由一根轻质弹簧连接，开始时
弹簧呈自然状态，A、B的质量均为M＝0.1kg，一颗质量m＝25g的子弹，以v0＝45m/s的速度水平射入A物体，并留在其中．求在以后的运动过程中，
(1)弹簧能够具有的最大弹性势能； (2)B物体的最大速度．
[思路点拨] 由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析：其一，子弹击中物体A的瞬间，在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小，且弹簧对A的作用力远远小于子弹与A之间的相互作用力，因此可认为由子弹与A物体组成的系统动量守恒，但机械能不守恒(属完全非弹性碰撞)．其二，弹簧压缩阶段，子弹留在木块A内，它们以同一速度向右运动，使弹簧不断被压缩．在这一压缩过程中，A在弹力作用下做减速运动，B在弹力作用下做加速运动．A的速度逐渐减小，B的速度逐渐增大，但vA＞vB．当vA＝vB时，弹簧的压缩量达最大值，弹性势能也达到最大值．以后随着B的加速，A的减速，则有vA＜vB，弹簧将逐渐恢复原长．其三，弹簧恢复阶段．在此过程中vB＞vA，且vB不断增大而vA不断减小，当弹簧恢复到原来长度时，弹力为零，A与B的加速度也刚好为零，此时B的速度将达到最大值，而A的速度为最小值．
根据以上三个阶段的分析，解题时可以不必去细致研究A、B的具体过程，而只要抓住几个特殊状态即可．同时由于A、B受力均为变力，所以无法应用牛顿第二定律，而只能从功能关系的角度，借助机械能转化与守恒定律求解．
[解题过程] (1)子弹击中木块A，系统动量守恒．由
弹簧压缩过程．由子弹A、B组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒．
选取子弹与A一起以v1速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为Epm，此时子弹A、B有共同速度v共，则有
代入数据可解得 v共＝5m／s，Epm＝2.25J．
(2)弹簧恢复原长时，vB最大，取子弹和A一起以v1速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有