∵∠ACB=90°．
∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°， ∴∠DAF=∠CDF=∠BDE． 在Rt△ADF中，∴AF=3DF=9． 在Rt△CDF中，∴
．
， ，
∴AC=AF﹣CF=8．
24．【解答】（1）证明：如图2，由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠B=∠DAE=45°． ∵H为BC中点， ∴AH⊥BC．
∴∠BAH=45°=∠DAE． ∴∠GAD=∠HAE．
在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，
，
∴
，
．
∴△AGD∽△AHE；
（2）解：分三种情况：
①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE； ③当AB=AE时，如图4，此时E与C重合， ∴D是BC的中点， ∴BD=BC=2
；
③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH， ∵AE=BE，EH⊥AB，
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∴AH=BH， ∴AM=BM， ∵∠ABC=45°，
∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形， ∵AD=DE，∠ADE=90°， 易得△ADM≌△DEG， ∴DM=EG，
∵∠EMG=∠BMH=45°， ∴△EMG是等腰直角三角形， ∴ME=
MG，
=
，
由（1）得：△AHD∽△AME，且∴∠AHD=∠AME=135°，ME=∴∠BHD=45°，MG=DH， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴BD=DH=EG=DM=
；
或
DH，
综上所述，当BD=0或
时，△ABE是等腰三角形；
（3）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6， 此时，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC． ∴四边形ABMC是正方形． ∴∠BMC=90°，
∴∠AMC=∠BMC﹣∠AMB=45°， ∵∠BAM=∠DAE=45°， ∴∠BAD=∠MAE，
在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，
，
∴
．
．
∴△ABD∽△AME． ∴∠AME=∠ABD=45°
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∴点E在射线MC上，
作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′， ∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′， ∴△ABE′就是所求周长最小的△ABE． 在Rt△ABN中，
∵AB=4，BN=2BM=2AB=8， ∴
．
．
∴△ABE周长最小值为
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25．【解答】解：（1）当a=﹣1，m=0时，y=﹣x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）， ∴﹣9+6+c=0． 解得 c=3．
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3． 即y=﹣（x﹣1）2+4．
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
（2）∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为直线∴点A关于对称轴的对称点为（﹣1，m）． ∵a＜0，
，
∴当x＜1，y随x的增大而增大； 当x＞1，y随x的增大而减小． 又∵n＜m，
∴当点P在对称轴左边时，t＜﹣1； 当点P在对称轴右边时，t＞3．
综上所述：t的取值范围为t＜﹣1或t＞3．
（3）∵点Q（x，y）在抛物线上， ∴y=ax2﹣2ax+c．
又∵QD⊥x轴交直线 l：y=kx+c（k＜0）于点D， ∴D点的坐标为（x，kx+c）．
又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点， ∴QD=ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）=ax2﹣（2a+k）x．
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∵QE=x，
∴在Rt△QED中，
∴tanβ是关于x的一次函数， ∵a＜0，
∴tanβ随着x的增大而减小．
又∵当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，且tanβ随着β的增大而增大， ∴当x=2时，β=60°；当x=4时，β=30°． ∴
．
解得 ∴
．
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