复变函数与积分变换试题与答案 1．若
u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。
（ ） 2．因为
|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。
（ ）
3．若
f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。
2
（ ）
（ ）
4．对任意的z，Lnz?2Lnz
二 填空（每题3分）1．2．
ii?arg??2?2i ， ?2?2i 。
ln(?3i)? ， ii? 。
2f(z)?2z?4z下，曲线C3.在映照在
z?i处的伸缩率是 ，旋转角
是 。
1?e2z44.z?0是z1?e2zRes[4,0]?z的 阶极点， 。
三 解答题（每题7分） 设
f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,d13为何值时
f(z)在复平面上处处解
析？并求这时的导数。
求
(?1)C的所有三次方根。
其中C是z?3．
4．
z2dz?0到z?3?4i的直线段。
?|z|?2ezcoszdz。(积分曲线指正向)
dz?|z|?2z(z?1)(z?3)5．。(积分曲线指正向)
f(z)?6 将
1(z?1)(z?2)在1?|z|?2上展开成罗朗级数。 |z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足
11πf()?0argf?()?222的分式线性映，
7.求将单位圆内
照。四 解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）
1．求
?0 t?0f(t)???kt?e t?0 （k为正实数）的傅氏变换。
设
f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。
F(s)?1s2(s2?1)，求F(s)的逆变换。
设
4. 应用拉氏变换求解微分方程
?t?y???2y??3y?e?,? (?0) 1?y(0)?0y
复变函数与积分变换试题答案 1若
u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。
（×）
|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。
（×）
2．因为
3．若
f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。
2
（√）
（×）
4．对任意的z，Lnz?2Lnz
1．
i2i3πππ?arg[]??ln(?3i)?ln3?ii??2kπ?2?2i4， ?2?2i4。 2．2, i?e2。
πf(z)?2z2?4z下，曲线C在z?i处的伸缩率是42，旋转角是4。
3.在映照
1?e2z44.z?0是z设
1?e2z4Res[4,0]??z3。 的3阶极点，
为何值时
f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,df(z)在复平面上处处解
析？并求这时的导数。
?u?v?u?v?ax?2by?dx?2y?2x?ay?2cx?dy?y?y解: 因为?x,,?x,,(2分)则
??u?v??x??y???2x?ay?dx?2y??u???v???y?xax?2by??2cx?dy(1分) 可得: (x,y)对任意的有? 即?a?d?2,b?c??1(2分). 这时,
f?(z)??u?v?i?2(x?y)?2i(x?y)或2z?2iz?x?x(2分)
求
(?1)13的所有三次方根。
(?1)?cos解:
132k+12k+1ππ13π+isinπ k?0,1,2w0?cos+isin=+i 333322 (4分), ,
w1?cosπ+isinπ =?1,
w2?cos5π5π13+isin= ?i 3322(3分)
?3．
Cz2dz 其中C是z23?4i03分?0到z?3?4i的直线段。
解: 原式
?[?zdz]32z33?4i2分(3?4i)3?[]0?(2分)33或
原式
??|z|?20434分43x331分4x(1?i)dx?(1?i)[]0?9(1?i)3(2分)3333
。(积分曲线指正向)
4．
?ezcoszdz解:原式=0. (7分)
dz?|z|?2z(z?1)(z?3)5．。(积分曲线指正向)
解: 原式?2πi?Res[f,0]?Res[f,?1]?(3分)(2分)11πi =2πi[lim?lim]??(2分)z?0(z?1)(z?3)z??1z(z?3)6
f(z)?6 将
1(z?1)(z?2)在1?|z|?2上展开成罗朗级数。
?11zn1解: 原式??(1分)=-?n?1?n?1] (3?3分)z?2z?1zn?02
7.求将单位圆内照。
|z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足
11πf()?0argf?()?222的分式线性映，
12(4分)解: 设w?f(z)?ei?11?z2z?w?i2z?1(2分)2?z.
,则
14πf?()?ei????(2分)232,故
1．求
?0 t?0f(t)???kt?e t?0 （k为正实数）的傅氏变换。
??0解: F(?)??e?kte?i?tdt(2分)?设
?11??[e?(k?i?)t]0?k?i?k?i?.
f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。
116???1 (1,2,2,1分)s3(s?1)2(s?2)2?36
解: F(s)?F(s)?设
-11s2(s2?1)，求F(s)的逆变换。
-1(1分)11-1解: L[F(s)]?L[2]?L[2] ? t?sint (2.5,2.5分)ss?1
4. 应用拉氏变换求解微分方程
?t?y???2y??3y?e?,? (?0) 1?y(0)?0y
解: 因为s2Y(s)?sy(0)?y?(0)?2[sY(s)?y(0)]?2Y(s) ?1, (3分)所以s?1
(2分)s?2311Y(s)? ???(2分)(s?1)(s?1)(s?3)8(s?1)4(s?1)8(s?3)
311151y(t)?et?e?t?e?3t(2分)或y(t)?cht?sht?e?3t(2分)848888
复变函数与积分变换试题与答案
判断题（每题3分，共12分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、
Ln?z?在其定义域内解析。 （ ）
f?z??u?x,y??iv?x,y?的u?x,y?与v?x,y?互为共轭调和函数。 ( )
2、解析函数3、如果4、函数
z0是f?z?的奇点，则f?z?在z0不可导。 （ ） f?z?在z0处的转动角与z0所在曲线C的形状及方向无关。 （ ）
二、填空题（每题3分，共15分） 1、
?1?i3的指数表达式为
2、1?2z?3z2?????nzn?1????的和函数的解析域是：
z?e?1?e?1Res?2,0??2?z? 3、z?0是z的 级极点，
z4、在映照
f?z??z2下，曲线C在z?i处的伸缩率是
1??i?则F [f(t-2)]=
[f?z?]?5、设F
三、计算（每题7分，共28分） 1、求z2?2i?0的全部根
coszdz?z?1z32、 （积分曲线取正向）
dz?z?2z?z?1?3、
（积分曲线取正向）
dz?|z|?2z6(z?1)(z?3)4、应用留数的相关定理计算： （积分曲线取正向）
四、解答题（每题8分，共24分）
11v?x,y???x2?y222为虚部的解析函数f?z?，使f?0??0 1、求以
f(z)?2、将函数
1z?1?z?2在圆环
0?z?1?1内展成罗朗级数
3、求把上半平面Im(z)＞0映照成单位圆五、 解答题（每题7分，共21分） 1、设
|w|＜1的分式线性函数，并使f(i)=0，f(-1)=1。
F(?)??i?[?(???0)??(???0)]，求其像原函数f(t)
2t2、利用拉氏变换的性质求L [cos3t?e]
3、解微积分方程：答 案
y'(t)??y(?)d??1, y(0)?00t。
1：×；2：×；3：×；4：√
1：2e?i2?/3。2：
z?1e?2i?。3：1；1。4：2。5：
1/21??i?
1、解：原式?z2?2i?z1/2??2i??2e?i/2?2k?i(2分）??1/2?2e?1/4?k??i?k?0,1?（3分）