单根：
2e?i/4;2e5?i/4 (2分)
(5分）???i（2分）
cosz2?idz?cos???z?z?0?z?1z32!2、解：
3、dz1??1??dz（3分）??z?2z?z?1??z?2?z?1z??11??dz??dz（1分）?2?i?2?i（2分）?0（1分）z?2z?1z?2z
2??12?i?Res?3,zk?z(z?1)(z?3)k?1?? 4、解：原式=
??1??2?i?Res?3,zk?k?3?z(z?1)(z?3)? z3?3
4
z1?0
z2?1 （1分）
z4?? （1分）
??11Res?3,3??33?2 （2分） ?z(z?1)(z?3)??????111?Res?3,???Res??2,0?111z(z?1)(z?3)???(?1)(?3)z?6?zz?z??=0 (2分)
?2?i?∴原式=
?1?i333?2=3 （1分）
（2分）
解：
?f??z??ux?ivx?vy?ivx（2分）?y?ix??i?x?iy???iz?f?z???
iz2f??z?dz（1分）???izdz???c2 （1分）
由
f?0??0?c?0 （1分） 得
iz2f?z???2 （1分）
?11nn??（2分）????1??z?1?z1?z?1n?02、解：
?z?1?1? （4分）
?f?z??
?1z?1?z?n2?nn?????1z?1?z?1?2?n?0 （1分） n?21?
????1??z?1?n?0?0?z?1?1? （1分）
??ei?3、解：设
z?iz?i
（3分）
?f(?1)?1
1?ei?
? 即
?1?i?ei???i?1?i （3分）
?iz?iz?i???i?e2z?iz?i ∴
（2分）
1、f(t)?F?1?F(?)???1??i?tF(?)ed?（2分）???2?（2分）
i??i?t{?(???)??(???)}ed?00???2?
ii?0te?e?i?0t2??（2分）??sin?0t （1分）
s?22ts?Lcos3t?e??L?cos3t??22(s?2)?9 （4分） s?92、 （3分）
??111111? sY(s)?Y(s)?Y(s)?2?(?)ss2s?1s?1s?13、 （3分） （2分）
1te2t?1?t? y(t)?(e?e)?22et （2分）
中南大学考试试卷(B)
单项选择题（15分，每小题3分）
设
?z2?,z?0f?z???z?0,z?0f?z??，则的连续点集合为（ ）。
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)u(x,y)与v(x,y)（A）单连通区域 （B）多连通区域 （C）开集非区域 （D）闭集非闭区域 设
，那么
在点
?x0,y0?可微是
f?z?在点
z0?x0?iy0可微的（ ）。
?A?充分但非必要条件?C?充分必要条件
下列命题中，不正确的是（ ）。
?B?必要但非充分条件?D?既非充分也非必要条件
?A?如果无穷远点?是f?z?的可去奇点,那么Res?f?z?,???0?B?若f?z?在区域D内任一点z0的邻域内展开成泰勒级数,则f?z?在D内解析.?C?幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.
ez?i?D?函数??z将带形域0?Im(z)??映射为单位圆??1.e?i
设c是
z??1?i?t，t从1到2的线段，则
?argzdz（ ）
。
c?A? 设
?4在
?B?0?z?1?4iz?0?C??4?1?i?，那么
?D?1?i
f?z?内解析且
limzf?z??1Res?f?z?,0??（ ）。
?A?2?i?B??2?i的主值为 。
?C?1?D??1
填空题（15分，每空3分） 1．
Ln?1?i?2．函数
f(z)=zRe?z?+Im?z??n仅在点z= 处可导。
n?z?n??2??1??11???????????z?33????n?1n?13．罗朗级数的
n收敛域为 。
w?
4． 映射
1
z，将圆域z?1?1映射为 。
5．
1dz??coszz?1 。
三．(10分)求解析函数
f(z)=u+iv，已知u?x2?y2?xy,f(i)??1?i。
四．(20分)求下列积分的值
1．
z?4?ezz2?z?1?2dz
2．
???0xsinxdx?a?0?x2?a
五．(15分)若函数1．2．
??z?在点
z0解析，试分析在下列情形：
z0为函数f?z?的m阶零点； z0为函数f?z?的m阶极点；
?f??z??Res???z?,z0?fz???。 ?求
ez六．（15分）写出函数cosz的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
七．（10分）求函数
2f?t??1?tu?t????3?t??sin2t傅氏变换。
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。 填空题（15分，每空3分）
ln2?1．
?4i。2．
?i 。3． 2?z?3?3。4． 半平面
Re?w??12R。5．0。
三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。
?v?u?v?u???2y?x,??2x?y?x?y?y?x则v(x,y)??0?x,y??0,0??2y?x?dx??2x?y?dy?Cy0????x?dx???2x?y?dy?C11??x2?2xy?y2?C22四．(20分)求下列积分的值 1．
x2??3?e?i
2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的
?????xixizedx?2πiRes[R(z)e,ai]22x?a
zeize?a?2?ilim?2πi??πie?az?iaz?ia2
因此???0xsinx1??x1?aixdx?Im(edx)??e.2222???x?a2x?a2
五．(15分)
解:函数??z?在点z0解析等价于在z0的一个邻域内??z????z?????z0??z?z0?????n??z0?n!?z?z0?n?m(1)z0为f?z?的m阶零点等价于在z0的一个邻域内f?z???z?z0???z?其中??z?在点z0解析,??z??0,于是在z0的去心领域
f??z?m??z????z?m??z0?????z??n?1??m??z????z?????z????m??z?z0????z??f?z?z?z0??z?z?z0n!?z??n?1?????f??z??由此可知,Res???z?,z0??m??z0?f?z????f??z??2与上面类似Res?z,z0???m??z0??????f?z???六．
ez?函数距原点最近的奇点?,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,cosz22??11即R=,收敛范围为z?.由ez?1?z2?z4??z2n??z???,222!n!11cosz?1?z2?z4?2!4!ez?c0?c1z?c2z2?coszz222?1?2n??z??z?2n?!n???及幂级数的除法,可设???z???2???0?1214?1????2!z?4!z??注意到e与cosz均为偶函数,其展开式中不含z2n?1项,可知c1?c3?1于是1?z2?z4?2!1?z2n?n!??c0?c2z?2??1?z2n???2n?!n????329比较同次系数得c0?1,c2?,c4?,224ez3294故?1?z2?z?cosz224七．（10分）
2???z???2??1??i??(?)
证明：
F[1]?2?????F[tu(t)]??
?2F[??3?t?]?e?3?iF[f?t?]??从而
F[sin2t]??i??????2??????2???
1?2?e?3?i?2???????i????(?)?????2??????2???
填空题（3?10=30分） 1、Z2、Z?1?3i，则Z? ，argz?
?1?3i的三角表示式为 ，指数表示式为 f(z)?x2?iy仅在 上可导，处处不解析
3、函数4、
Ln(?i)?