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第83题 回归定义解决圆锥曲线问题
I．题源探究·黄金母题
2【例1】设Q是圆C:?x?1??y?16上的动点，另有A?1,0?，线段AQ2精彩解读
【试题来源】例1：人教A版选修2-1P42习题2．1T7改编． 例2：人教A版选修2-1P36练习
的垂直平分线交直线CQ于点P，当点Q在圆上运动时，求点P的轨迹方程．
T3．
【母题评析】这类题考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，考查考生简单的识记及基本计算能力． 【思路方法】利用圆锥曲线的定义解题．
x2y2??1 【答案】43【解析】设P?x,y?．
点P是线段AQ垂直平分线上的一点，?PA?PQ，
?PA?PC?PC?PQ?4>2，?点P的轨迹是以点A,C为焦点
x2y2??1． 的椭圆，且a?2,c?1，b?3，?点P的轨迹方程为432
x2y2??1的右焦点F2作垂直于x轴的直线【例2】已知经过椭圆
2516AB，交椭圆于A,B两点，F1是椭圆的左焦点．
（I）求?AF1B的周长；
（II）如果AB不垂直于x轴，?AF1B的周长有变化吗？为什么？ 【答案】（I）20；（II）没有变化．
【解析】（I）由已知，当AB?x轴时，xA?xB?3，代入椭圆的方程可得纵坐标分别为
161632,?，从而AB?． 5552216??△AF1B的周长为??3?3????0???5??16?32??3?3????0????20． 5?5?222
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（II）如果AB不垂直于x轴，?AF1B的周长不变，证明如下： 由椭圆的定义可知：AF1?AF2?2a,BF1?BF2?2a， 两式相加即得?AF1B的周长为4a?20． II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考全国I理10】已知F为抛物线C：y2?4x的焦点，
【命题意图】这类题主要考查圆
过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2锥曲线的定义及简单的几何性
与C交于D,E两点，则AB?DE的最小值为 （ ）
质．这类题能较好的考查考生逻A．16 【答案】A
【解析】解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直线l1方
B．14
C．12
D．10
辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题，也可以是解答题第（1）小题，难度中等偏易． 【难点中心】
1．抛物线的定义是解决抛物线问
?y2?4x程为y?k1(x?1)．联立方程?得
?y?k1(x?1)?2k12?42k12?4， ?kx?2kx?4x?k?0，∴x1?x2??22k1k122121212题的基础，它能将两种距离(抛物2k2?4同理直线l2与抛物线的交点满足x3?x4?．由抛物线定义可知 2k2线上的点到焦点的距离、抛物线
AB?DE?x1?x2?x3?x4?2p22k12?42k2?44416???4???8?2?8?16， 222k12k2k12k2k12k2上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起
当且仅当k1??k2?1（或k1??k2??1）时，AB?DE取最小值16． 来，那么用抛物线定义就能解决
2p解法二：如图，设直线l1的倾斜角为?，则AB?，则
sin2?问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2．双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐．做好这一类问题要
DE?2p2p，所以 ?2πcos???sin2?????2?2
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抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐
AB?DE?2p2p1??1??4??2?2sin2?cos2??sin?cos??
近线的距离是
ab． c?sin2?cos2??1??122?4?2?2??sin??cos???4?2?2?2??4?2?2??16， ?sin?cos???cos?sin??sin2?cos2?????????当且仅当，即或时，AB?DE取最小值16． 2244cos?sin?【例2】【2017高考全国II理16】已知F是抛物线C:y2?8x的焦点，
M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
则FN? ． 【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，做MB?l与点B，NA?l与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为x??2，则AN?2,FF'?4，在直角梯形ANFF'中，中位线BM?AN?FF'?3，由抛物线的定义有：MF?MB?3，由题2意有MN?MF?3，线段FN的长度：FN?FM?NM?3?3?6．
x2y2【例3】【2017高考全国I】已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的
ab右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．
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【答案】23 3【解析】如图所示，作AP?MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线y?bx上的点，且A(a,0)，aAM?AN?b，而AP?MN，所以?PAN?30，
点A(a,0)到直线y?bx的距离AP?a|b|1?ba22，
在Rt?PAN中，cosPAN?PA，代入计算得a2?3b2，即a?3b， NA由c2?a2?b2得c?2b，所以e?c2b23．??a33b
11242【例4】【2017高考浙江21】如图，已知抛物线x?y，点A(?，)，
1339B(，)，抛物线上的点P(x,y)(??x?)．过点B作直线AP的垂
2224线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值． 【答案】（Ⅰ）(?1,1)；（Ⅱ）
27 16【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为x?1，22
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由?13?x?，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方22程，得Q的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数
f(k)??(k?1)(k?1)3求解|PA|?|PQ|的最大值．
14?x?1， 试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则k?12x?213∵??x?，∴直线AP斜率的取值范围是(?1,1)．
22x2?11?kx?y?k??0,??24（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程?
?x?ky?9k?3?0,??42?k2?4k?3解得点Q的横坐标是xQ?，
2(k2?1)1??PA?1?k2?x???1?k2?k?1?，
2??PQ?1?k2?xQ?x??k?1??k?1???k2?132,?PAPQ???k?1??k?1?．
23令f(k)??(k?1)(k?1)，因为f'(k)??(4k?2)(k?1)，所以 f(k)在区间(?1,)上单调递增，(,1)上单调递减，因此当k?12121时，2|PA|?|PQ|取得最大值
27． 16【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达
3|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)??(k?1)(k?1)求解|PA|?|PQ|的最大值．
x2y2【例5】【2017高考天津理19】设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点
ab为F，右顶点为A，离心率为
12．已知A是抛物线y?2px(p?0)的22