1
焦点，F到抛物线的准线l的距离为
1． 2（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为求直线AP的方程．
6，24y2?1，y2?4x．（2）3x?6y?3?0，或【答案】 （1）x?323x?6y?3?0．
【解析】试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为
111，则a?c?，又椭圆的离心率为，求出c,a,b，得出椭圆的标222准方程和抛物线方程；则A(1,0)，设直线AP方程为设
x?my?1(m?0)，解出P、Q两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方
程联立解出B点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D的坐标，最
后根据△APD的面积为6解方程求出m，得出直线AP的方程． 2试题解析：（Ⅰ）设F的坐标为(?c,0)．依题意，
c1p?，?a，a22113a?c?，解得a?1，c?，p?2，于是b2?a2?c2?．所以，
22424y2?1，抛物线的方程为y2?4x． 椭圆的方程为x?3（Ⅱ）设直线AP的方程为x?my?1(m?0)，与直线l的方程x??1联
4y2222?1联立，可得点P(?1,?)，故Q(?1,)．将x?my?1与x?mm3立，消去
x，整理得(3m2?4)y2?6my?0，解得y?0，或
?3m2?4?6m?6my?,)．由．由点B异于点A，可得点B(23m?43m2?43m2?4Q(?1,2)m，
可
得
直
线
BQ的方程为
2
1
?6m2?3m2?42(2?)(x?1)?(?1)(y?)?0，令y?0，解得3m?4m3m2?4m2?3m2x?3m2?2，故
2?3m2D(2,0)3m?2．所以
2?3m26m26△APD|AD|?1?2?．又因为的面积为，故23m?23m?2216m226，整理得3m2?26|m|?2?0，解得?2??23m?2|m|2|m|?66，所以m??． 33所以，直线AP的方程为3x?6y?3?0，或3x?6y?3?0． 【例6】【2017高考江苏17】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F，F，离心率为1，两x2y212E:2?2?1(a?b?0)2ab准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F作直
1线PF的垂线l，过点F作直线PF的垂线l．
11222（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
y F1 ?O F2 ?x (第17题)
x2y24737??1；（2）(【答案】（1）,)． 4377【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．∵椭圆E的离心率为
c11，∴?a222a2①．∵两准线之间的距离为8，∴?8②．联立①②得a?2,c?1，
c2
1
x2y2∴b?3，故椭圆E的标准方程为??1．
43（2）解法一：由（1）知F1??1,0?,F2?1,0?．
从而直线l1的方程：y??x0?1(x?1) ① y0直线l2的方程：y??x0?1(x?1) ② y0221?x01?x0)． 由①②，解得x??x0,y?，∴Q(?x0,y0y021?x022??y0，即x0?y0?1或∵点Q在椭圆上，由对称性，得
y022x0?y0?1．
因此点P的坐标为(4737,)． 77x0?1?y??(x?1)?y0?解法二：设P(x0,y0)，则x0?0,y0?0，由题意得?，
?y??x0?1(x?1)?y0?2
1
?x??x022?x0y02整理得?1?x0，∵点P(x0,y0)在椭圆E上，∴??1，
y?43?y0?222?4737?y0(1?x0)16292,?x?,y?∴，∴0，故点P的坐标是? ?02??．777733y0??解法三（参数方程）：设P2cos?,3sin?????0,??????????，则2???kPF1?3sin?3sin?,kPF2?,?直线l1,l2方程分别为
2cos??12cos??1y??2cos??12cos??1?x?1?,y???x?1?．联立解得
3sin?3sin???1?4cos2??Q??2cos?,?,又Q在椭圆上，
3sin????2cos??1?4cos2??1???????1，整理得
43?3sin??227cos4??10cos2??8?0,
??7cos2??4??cos2??2??0,?cos2??4???．又???0,?，7?2??4737?2221,． ??cos??,sin??,?点P的坐标是???7777??解法四（秒杀技）：由已知得?QF1P??QF2P?90?，故这四个点共圆．若P,F则圆以F1F2为直径，方程为x2?y2?1，1,Q,F2四点共圆，
x2y2但它与椭圆故应该是P,Q,F（即在??1无交点，1,F2四点共圆
43以PQ为直径的圆上），从而P,Q关于y轴对称．设
P?x0,y0??x0?0,y0?0?，则Q??x0,y0?，且P,Q是圆
x??y?y0?22x2y2?x与椭圆??1的交点，又F1,F2在此圆上，
43202