第 7 次课 2 学时
课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第二类换元积分法 教学要求：1. 理解第二类换元积分法 重 点：第二类换元积分法 难 点：第二类换元积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 第二类换元积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料
第二类换元积分法
1、复习第一类换元积分法. 2、第二类换元法.
（1）定理1 设x???t?是单调的、可导的函数? 并且???t??0? 又设f [??t?]???t?具有原函数F?t?? 则有换元公式?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?F[??1(x)]?C? 其中
t???1?x?是
x???t?的反函数? 这是{F[??1(x)]}??F?(t)dtdx?f[?(t)]??(t)1dx?f[?(t)]?f(x)?
dt3、例题讲解.
例1. 求?a2?x2dx(a>0)?
解: 设x?asinx，? ?2?t? ?2? 那么a2?x2?a2?a2sin2t?acost?
dx?acostdt? 于是?a2?x2dx??acost?acostdt?a2?cos2tdt?a2(12t?14sin2t)?C?
因为t?arcsinx, sin2t?2sintcost?2x?a2?x2aaa? 所以
?a2?x2dx?a2(12t?14sin2t)?C?a22arcsinxa?12xa2?x2?C.
例2 求
?dx4x2?9.
解 原式?1d(2x)2?(2x)2?32?12ln2x?4x2?9?C. 例3 求
?dx
1?ex.解 为了消去根号，设1?ex?t，则x?ln(t2?1),dx?2tt2?1dt.所以 ?dx1?ex??2tt(t2?1)dt?2?1?11?t2?1dt????t?1?t?1??dt ?lnt?1t?1?C?ln1?ex?11?ex?1?C.
4、变式练习.
为因
１）
?x11?x2dx ２）?sinxdx
３）
?x2?4x2dx ４）?dx,(a?0)
22xa?x５）
?dx ６）
?dx
(x2?1)3７）?dx x?1?x21?2x?dx1?1?x2
８）
第 8 次课 2 学时
课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：分部积分法1 教学要求：1. 掌握分部积分法 重 点：分部积分法 难 点：分部积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 分部积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料
分部积分法
1、提出问题：求解?xexdx（让学生试着求解）. 2、分部积分公式.
设函数u?u(x)及v?v(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为 (uv)??u?v?uv?,移项得 uv??(uv)??u?v.
对这个等式两边求不定积分? 得?uv?dx?uv??u?vdx??或?udv?uv??vdu?
这个公式称为分部积分公式? 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。
3、例题讲解.
x例1 求xedx.
?解 设u?x,dv?exdx,那么du?dx,v?ex.于是
?xedx??xde?xx?xex??exdx?xex?ex?C.
例2 求 xlnxdx.
11,v?x2. x21211212原式?xlnx??xdx?xlnx?x?C.
2224'解 令u?lnx,v?x,则u?'x例3 求esinxdx.
?xxxx解 设u?sinx,v??e.u??cosx,v?e.则原式?esinx?ecosxdx.
?再令u?cosx,v??e.则u???sinx,v?e.
xxx 故原式?esinx?ecosx?esinxdx.
xx?xxe(sinx?cosx)?C. 故esinxdx?12?说明: 也可设u?e,v?为为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 注：(1)
x?f(x)dx凑微分?udv公式uv??vdu?uv??vudx.
?f(x)dx易积分.
''(2)vudx应较
?(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出u,dv，而是直接用公式来做.