例5 求xcosxdx.
解 cosxdx?xdsinx?xsinx?sinxdx?xsinx?cosx?C.
2x例6 求xedx.
????2x2x2xx22xx2xx解 xedx?xde?xe?edx?xe?2xedx?xe?2xde
?????2xxx2xxx ?xe?2xe?2edx?xe?2xe?2e?C
? ?ex?x2?2x?2??C.
4、变式练习.
１）xsinxdx ２）arcsinxdx
2３）xlnxdx ４）e??????2xxsindx
222５）xarctanxdx ６）xcosxdx
??2７）lnxdx ８）
?x2cos2xdx 2
第 9 次课 2 学时
课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：分部积分法 教学要求：1. 会应用分部积分法求积分 重 点：分部积分法 难 点：分部积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 习题 （90） 课后作业 参考资料
分部积分法
1、复习分部积分法. 2、例题讲解.
例1 求?exsinxdx?
解 因为?exsinxdx??sinxdex?exsinx??exdsinx ?exsinx??excosxdx?exsinx??cosxdex ?exsinx?excosx??exdcosx?exsinx?excosx??exdcosx ?exsinx?excosx??exsinxdx? 所以?exsinxdx?1ex(sinx?cosx)?C?
2 例2 求?sec3xdx?
解 因为?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtanx?secxtanx??secxtan2xdx ?secxtanx??secx(sec2x?1)dx?secxtanx??sec3xdx??secxdx ?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec3xdx? 所以 ?sec3xdx?1(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C?
2 例3 ?arccosxdx?xarccosx??xdarccosx?xarccosx??x11dx 1?x2? ?xarccosx?1?(1?x2)2d(1?x2)?xarccosx?1?x2?C?
2
解题技巧：选取u及v的一般方法：
把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为u后者为v.
例4 ?xarctanxdx?1?arctanxdx2?1x2arctanx?1?x2?12dx?1x2arctanx?1?(1?12)dx
222221?x1?x ?1x2arctanx?1x?1arctanx?C?
222例5 求In??dx? 其中n为正整数?
(x?a2)n2 解 I1??2dx2?1arctanx?C?
ax?aa 当n?1时，用分部积分法? 有
dxxx2dx?x1a2]dx? ??2(n?1)?2(n?1)[??(x2?a2)n?1(x2?a2)n?1?(x2?a2)n?(x2?a2)n?1(x2?a2)n(x2?a2)n?1x?2(n?1)(In?1?a2In)? 即 In?1?22n?1(x?a)于是?? In?1[2x2n?1?(2n?3)In?1]? 2a(n?1)(x?a)2以此作为递推公式? 并由I1?例6 求?exdx?
1xarctan?C即可得In? aa 解 令x?t ? 则 ? dx?2tdt? 于
?exdx?2?tetdt?2et(t?1)?C?2ex(x?1)?C?
?exdx??exd(x)2?2?xexdx?2?xdex?2xex?2?exdx ?2xex?2ex?C?2ex(x?1)?C?? 例7
2
?x2?a2dx(a?0).
解 设u?x2?a2,v??1,则u??x2xx2?a2,v?x.
?x2?a2dx?xx2?a2??(x2?a2)?a2x2?a2x2?a2dx
?xx2?a2??dx
dxx2?a2?xx2?a2??x2?a2dx?a2?.
1a222ln(x?x2?a2)?C. 所以原式?xx?a?22 注：（第一换元法与分部积分法的比较）共同点是第一步都是凑微分
令?(x)?u ?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?f(u)du? ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x) ?u(x)v(x)??v(x)du(x)?
3、变式练习.
１）
??xexex?1x5dxdxarctanexdx?sin(2x)?2sinx2x?e 2) ３）
４）
45sinxcosxx?xdxdxdxx3?1 ５）?x8?1 ６）?sinx?cosx