浅谈待定系数法在中学数学中的应用
某某
(玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业××级×班, 学号: ××××)
指导教师: 某某
摘要:待定系数法是中学数学中的一种重要方法，利用待定系数法可以解决很多数学问题.本文讲述了待定系数法的主要解题步骤以及待定系数法在中学数学中的应用. 关键词:待定系数法; 中学数学; 应用
待定系数法是一种求未知数的方法.首先它把一个式子用含有待定系数的形式表示出来，得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质列出待定系数满足的方程，再解方程求出待定系数，或者找出系数所满足的关系式，这样的方法叫做待定系数法.[1]
待定系数法是一种数学中经常用的解题方法.对于一些数学问题，如果知道题目中所要求的结果含有某种关系，这时可以用待定的系数来表示这种结果，由已知的条件列出恒等式，得到方程或者方程组，最后解出方程或方程组，就可以解出待定系数.待定系数法广泛应用于分解因式、分式的计算、求数列通向、解决解析几何等问题. 一、待定系数法解题步骤
（1）根据题目得到含待定系数的解析式；
（2）根据多项式恒等的条件，列出含待定系数的方程； （3）解出所列出来的方程或者消去待定系数，就可以解决问题. 二、待定系数法的用法
一般用法是，设某一个多项式的全部或部分系数为未知数，根据两个多项式恒等以及同类项的系数相等或其他已知的条件确定这些系数，从而得到未知数的值.从更广泛的意义上说，待定系数法是将解析式的一些常数看作未知数，利用已知的条件确定这些未知数，从而解决问题的方法.求函数的表达式，把一个多项式写成几个整式的积或幂的和的形式等，都可以用这种方法. 三、待定系数法的特点
待定系数法是先根据数量之间的关系，设出一个含有待定系数的多项式，然
后再根据多项式恒等的性质列出几个方程，这时得到一个方程组，解出方程组，就可以求出所设的待定系数的值或者是从方程组中消去设出的这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，就可以解决问题了. 四、用待定系数法求解实例 1、在多项式中的计算
待定系数法是解数学问题的一种重要方法，用这种方法解题的一般步骤是：按照某些条件或要求，列出一个恒等式，其中含有没有确定的系数，再根据恒等式的性质列出几个只含系数的方程，解由这几个方程组成的方程组，确定每个待定系数的值，或得到其它结论，就可以解决问题.
例1 假设x4?2x3?11x2?12x?p是两个完全平方式的乘积，求p的值. 思路剖析：多项式x4?2x3?11x2?12x?p为四次多项式，它是两个一次多项式的平方的乘积.且四次项次数为1，可设x4?2x3?11x2?12x?p=?x?a??x?b?，
22根据多项式恒等，则对应项系数相等的性质，列出含a、b的方程组并求解. 解：设x4?2x3?11x2?12x?p=?x?a??x?b?
22 化简等式右边的式子，可得 x4?2x3?11x2?12x?p
=x4??2a?2b?x3??a2?4ab?b2?x2??2ab2?2ba2?x?a2b2
?2a?2b??2?22?a?4ab?b??11 因为 ? 22?2ab?2ba?12?a2b2?p? 可以解得
?a??3? ?b?2
?c?36??a?2??b??3 ?c?36? 所以 p=4
例 2 将3x3?19x2?29x表示成x?3幂的形式.
思路剖析：根据题目意思，可以设出表示成x?3幂的最后形式，又因为原式的最高次数时是3次，所以可以设成a(x?3)3?b(x?3)2?c(x?3)?d，利用对应项系数相等，即可求出a、b、c、d的值.
解：设3x3?19x2?29x=a(x?3)3?b(x?3)2?c(x?3)?d 将右端展开得：
3x3?19x2?29x=ax3?(?9a?b)x2?(27a?6b?c)x?27a?9b?3c?d
由对应项系数相等，得到方程组
?a?3??9a?b??19? ??27a?6b?c?29???27a?9b?3c?d?0?a?3?b?8?解得 ?
c??4???d??3所以 3x3?19x2?29x=3(x?3)3?8(x?3)2?4(x?3)?3 2、分解因式
判断一个多项式能不能分解成两个或两个以上因式，以及能不能够分解，它的几个一次因式是什么，这个问题是很重要的.利用待定系数法来分解因式，就是根据已知的条件把原式假设成几个因式的乘积，这几个因式中的系数可以用字母来表示，因为这些因式的乘积与原式相等，然后再列出含有待定系数的方程组，最后解出方程组就可以求出待定系数的值. 例3 分解因式：x4?x3?2x2?19x?7．
思路剖析：这是一个关于x的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘法．利用待定系数法设出经分解因式后的式子.在这里，我们一般设成由两个因式相乘，解出因式中未知数时，再看能否再分解. 解：设
x4?x3?2x2?19x?7
=?x2?ax?b??x2?cx?d?
=x4??a?c?x3??b?ac?d?x2?bd， 等式两边对应项系数相等，列出方程组，得
?a?c?1?b?ac?d?2?， ?ad?bc?19???bd?7 解该方程，得到
?a?3?b?1?， ?c??2???d?7 所以
x4?x3?2x2?19x?7??x2?3x?1??x2?2x?7?．
3、分式计算
像多项式计算一样 ，分式计算时，也可以设待定系数，解方程组求出待定系数，将整个问题解决. 例 4 已知
x2?2x?5?x?2?2?x?3?，将它写成分子是常数，分母分别为x?3,x?2,?x?2?,
2的三个分式的和的形式.
思路剖析: 根据题意，把原式写成分子是常数，分母分别为x?3,x?2,?x?2?的
2三个分式的和的形式，只需把原式设成的值即可. 解：设
x2?2x?5ABC??，解出A、B、C2x?3x?2?x?2??x?2?2?x?3?=
ABC?? 2x?3x?2?x?2?A(x?2)2?B(x?2)(x?3)?C(x?3) 所以=
(x?2)2(x?3)?x?2?2?x?3?x2?2x?5 从而x2?2x?5?A(x?2)2?B(x?2)(x?3)?C(x?3)
把右边的式子化简，得到?A?B?x2???4A?B?C?x?4A?6B?3C 即x2?2x?5??A?B?x2???4A?B?C?x?4A?6B?3C 由此得到方程组
?A?B?1? ??4A?B?C??2
?4A?6B?3C?5? 解方程组，得A= 所以
x2?2x?514，B=，C=1；
55?x?2?2?x?3?=
411??
5(x?3)5(x?2)(x?2)22x3?x2?3x?5例 5 将化成一个整式和一个真分式的和的形式.
x2?2x?1思路剖析：由于分子是三次式，分母是二次式，则所化的整式为一次式，可以设为ax?b.分式要是真分式，则分式分子的最高次数要比分母的最高次数低，可设为
cx?d.
x2?2x?12x3?x2?3x?5cx?d解：设= ax?b?x2?2x?1x2?2x?12x3?x2?3x?5(ax?b)(x2?2x?1)?cx?d于是 = 22x?2x?1x?2x?1ax3?2ax2?ax?bx2?2bx?b?cx?d=
x2?2x?1ax3?(b?2a)x2?(a?2b?c)x?b?d= 2x?2x?1 由此得方程组
?a?2?a?2?b?2a?1?b?5?? 解得 ??a?2b?c??3c?5?????b?d?5?d?02x3?x2?3x?55x 所以 = 2x?5?x2?2x?1x2?2x?1