C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．
A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
（二）填空题
⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是
f(x)的 极小值 点．
⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ． ⒊函数y?ln(1?x2)的单调减少区间是(??,0)． ⒋函数f(x)?ex的单调增加区间是(0,??)
⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)?2?5x?3x3的拐点是
2?0,2?
（三）计算题
⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值． 解：令y??2?x?5?2?(x?1)?2?(x?5)X ?3(x?5)(x?1)
?驻点x?1,x?5
列表： 极大值：
(??,1) + 上升 1 0 极大值32 (1,5) — 下降 5 0 极小值0 (5,??) + 上升 y? f(1)?32
y 极小值：f(5)?0
11
⒉求函数y?x2?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 解：令：y??2x?2?0?x?1(驻点），列表：
1 0 极大值2 2x y? y （0,1） + 上升 （1,3） — 下降 y?x2?2x?3??x?1??2
f(0)?3f(3)?6f(1)?2
?极值点：f?1??2
?最大值?最小值2f(3)?6 f(1)?2
3.求曲线y?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 解：设p(x,y)是y?2x上的点，d为p到A点的距离，则：
2d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x
令d??2(x?2)?22(x?2)?2x2?x?1(x?2)?2x2?0?x?1?y??2
?y2?2x上点(1,2)或1，-2到点A(2,0)的距离最短。。
4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??Rh??(L?h)h
222??令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?02L332,R?L时其体积最大。 33?L?3hh?3L3R??当h?5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h
S表面积?2?Rh?2?R2?2V?2?R2 R 12
令：S???2VR?2?4?R?0?VV4V h?3 ?R3?R?32?2??答：当R?3V4V h?3时表面积最大。 2??6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底长为x，高为h。则：
62.5?x2h2?h?62.5 2x2侧面积为：S?x?4xh?x?令S??2x?250 x250?0x2?x3?125?x?5
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 （四）证明题
⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：在区间
?1,1?x?上对函数f?x??lnx应用拉格朗日定理，有ln?1?x??ln1?其中1??1?x
1?1?x,故?1，于是由上式可得x?ln(1?x)
?x⒉当x?0时，证明不等式e?x?1．
证：设f(x)?e?(x?1)
xf?(x)?ex?1?0(当x?0时）?当x?0时,f(x)单调上升且f(0)?0
?f(x)?0,即ex?(x?1)
高等数学基础形考作业4答案：
第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
1，则f?(x)?（D）． x1 A. lnx B. ?2
x12C. D. 3
xx ⒈若f(x)的一个原函数是
13
⒉下列等式成立的是（D）． A
?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)C.
d?f(x)dx?f(x) D.
⒊若f(x)?cosx，则
df(x)dx?f(x) dx??f?(x)dx?（B）．
A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c ⒋
d23xf(x)dx?（B）． dx? A. f(x3) B. x2f(x3) C.
11f(x) D. f(x3) 33⒌若
?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B）．
A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D. ⒍下列无穷限积分收敛的是（D）． A.
1xF(x)?c
???11dx B. x???0exdx 1dx 2xC.
???11dx D. x???1（二）填空题
⒈函数f(x)的不定积分是
?f(x)dx。
⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)?G(x)?c(常数）。
x⒊dedx?e。
?x22⒋(tanx)?dx?tanx?c。 ⒌若⒍
3??f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)。
15(sinx?)dx?3 ??32??1dx收敛，则p?0。 ⒎若无穷积分?1xp
14
（三）计算题
1cosxdx??cos1d(1)??sin1?c ⒈??xxxx2⒉
?exxdx?2?exdx?2ex?c
⒊
11dx??xlnx?lnxd(lnx)?ln(lnx)?c
⒋
?xsin2xdx???e111111??xdcos2x??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?sin2x?c ??22224e1⒌
e3?lnx1dx??1(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)x27? 2⒍
??10xe?2x1?2x111?2x113?21dx??ex??0edx??e?2?e?2x1??e? 00222444⒎
e1e22e??121e1ex1e1122?xlnxdx??1lnxdx?lnx??1xdx??e??e? ?122222?21?4?4⒏
?e1ee1lnx111dx??lnx?dx???22?1xexxx1e1??2?1 ea（四）证明题
⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则证:令x??ta??af(x)dx?0．
a?a?aa?af(x)dx????aaaf(?t)dt??f(?t)dt???f(t)dt
?aa??f(x)dx???f(x)dx?a?a??f(x)dx?0 证毕
?a⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则证：
?a?af(x)dx?2?f(x)dx．
0a?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
?a000a?aa00a令x??t,则?f(x)dx???f(?t)dt??f(t)dt?f(x)是偶函数
aa00?
a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?2?f(x)dx?a000aa证毕
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