程如下图所示：
如何从k阶的频繁项集生成k+1阶候选项集：自连接+裁剪（若k+1阶候选项的k阶子集中至少有一个不存在于k阶频繁项集中，则裁剪——Apriori裁剪规则，又称向下闭合特性）。 如何扫描数据库对候选项集进行计数：利用数据结构哈希树提高效率。 PS：哈希树简介（以三阶候选项集哈希树为例） 哈希函数：根据键值找到存储地址的函数
哈希树的构造：当一个节点存放的候选项集超过3时，将其裂解为3个子节点，包含的候选项集按照哈希函数进行分配，哈希函数的键值为候选项集的第i个项值，i为被裂解节点在哈希树中的层数（根节点层数为1）。
哈希树的遍历：若当前节点的上层节点的哈希函数针对的键值是transcation的第i个项值，则对transaction的第i个项后的每个项通过哈希函数递归地执行这个搜索过程。
遍历至数据库中的某一个transaction时，进行一次哈希树遍历即可完成该transaction的计数。 哈希树的原理如下图所示：
Apriori算法的缺点：需要多次扫描数据库；生成大量备选项集；计数工作量太大。
Apriori算法的改进 1. 减少扫描数据库次数
- 基于分割数据库的算法(Savasere,et al. VLDB'95) - 动态生成候选项集的算法(Brin, et al. SIGMOD'97) 2. 减少候选项集
在Apriori裁剪规则基础上引进哈希表裁剪规则，使候选项集的裁剪量增多-DHP算法(Park, et al. SIGMOD'95)
1. C4.5
C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3算法. C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进： 1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属 性的不足；
2) 在树构造过程中进行剪枝；
3) 能够完成对连续属性的离散化处理； 4) 能够对不完整数据进行处理。
C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构 造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。 2. The k-means algorithm 即K-Means算法
k-means algorithm算法是一个聚类算法，把n的对象根据他们的属性分为k个分 割，k < n。它与处理混合正态分布的最大期望算法很相似，因为他们都试图找到 数据中自然聚类的中心。它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组 内部的均方误差总和最小。
3. Support vector machines
支持向量机，英文为Support Vector Machine，简称SV机（论文中一般简
称SVM）。它是一种監督式學習的方法，它广泛的应用于统计分类以及回归分析 中。支持向量机将向量映射到一个更高维的空间里，在这个空间里建立有一个最大 间隔超平面。在分开数据的超平面的两边建有两个互相平行的超平面。分隔超平面 使两个平行超平面的距离最大化。假定平行超平面间的距离或差距越大，分类器的 总误差越小。一个极好的指南是C.J.C Burges的《模式识别支持向量机指 南》。van der Walt 和 Barnard 将支持向量机和其他分类器进行了比较。
4. The Apriori algorithm
Apriori算法是一种最有影响的挖掘布尔关联规则频繁项集的算法。其核心是基于两阶段频集思想的递推算法。该关联规则在分类上属于单维、单层、布尔关联规则。在这里，所有支持度大于最小支持度的项集称为频繁项集，简称频集。 5. 最大期望(EM)算法
在统计计算中，最大期望（EM，Expectation–Maximization）算法是在概率（probabilistic）模型中寻找参数最大似然估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量（Latent Variabl）。最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据集聚（Data Clustering）领域。
6. PageRank
PageRank是Google算法的重要内容。2001年9月被授予美国专利，专利人是Google创始人之一拉里.佩奇（Larry Page）。因此，PageRank里的page不是指网页，而是指佩奇，即这个等级方法
是以佩奇来命名的。PageRank根据网站的外部链接和内部链接的数量和质量俩衡量网站的价值。PageRank背后的概念是，每个到页面的链接都是对该页面的一次投票，被链接的越多，就意味着被其他网站投票越多。这个就是所谓的―链接流行度‖——衡量多少人愿意将他们的网站和你的网站挂钩。PageRank这个概念引自学术中一篇论文的被引述的频度——即被别人引述的次数越多，一般判断这篇论文的权威性就越高。
7. AdaBoost
Adaboost是一种迭代算法，其核心思想是针对同一个训练集训练不同的分类器(弱 分类器)，然后把这些弱分类器集合起来，构成一个更强的最终分类器 (强分类 器)。其算法本身是通过改变数据分布来实现的，它根据每次训练集之中每个样本 的分类是否正确，以及上次的总体分类的准确率，来确定每个样本的权值。将修改 过权值的新数据集送给下层分类器进行训练，最后将每次训练得到的分类器最后融 合起来，作为最后的决策分类器。
8. kNN: k-nearest neighbor classification
K最近邻(k-Nearest Neighbor，KNN)分类算法，是一个理论上比较成熟的方
法，也是最简单的机器学习算法之一。该方法的思路是：如果一个样本在特征空间 中的k个最相似(即特征空间中最邻近)的样本中的大多数属于某一个类别，则该样 本也属于这个类别。
9. Naive Bayes
在众多的分类模型中，应用最为广泛的两种分类模型是决策树模型(Decision Tree Model)和朴素贝叶斯模型（Naive Bayesian Model，NBC）。 朴素贝叶 斯模型发源于古典数学理论，有着坚实的数学基础，以及稳定的分类效率。同
时，NBC模型所需估计的参数很少，对缺失数据不太敏感，算法也比较简单。理论 上，NBC模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此， 这是因为NBC模型假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立 的，这给NBC模型的正确分类带来了一定影响。在属性个数比较多或者属性之间相 关性较大时，NBC模型的分类效率比不上决策树模型。而在属性相关性较小 时，NBC模型的性能最为良好。 10. CART: 分类与回归树
CART, Classification and Regression Trees。 在分类树下面有两个关键的思
想。第一个是关于递归地划分自变量空间的想法；第二个想法是用验证数据进行剪 枝。
二、数据库有4笔交易。设minsup=60%，minconf=80%。
TID DATE ITEMS_BOUGHT T100 3/5/2009 {A, C, S, L} T200 3/5/2009 {D, A, C, E, B} T300 4/5/2010 {A, B, C} T400 4/5/2010 {C, A, B, E}
使用Apriori算法找出频繁项集，列出所有关联规则。
解：已知最小支持度为60%，最小置信度为80%
1）第一步，对事务数据库进行一次扫描，计算出D中所包含的每个项目出现的次数，生成候选
1-项集的集合C1。
D TID 项集 T100 {A, C, S, L} T200 {D, A, C, E, B} T300 {A, B, C} T400 {C, A, B, E} C1 项集 支持度计数 {A} {B} {C} {D} {E} {S} {L} 4 3 4 1 2 1 1
2）第二步，根据设定的最小支持度，从C1中确定频繁1-项集L1。
L1 项集 支持度计数 {A} 4 {B} {C} 3 4 3）第三步，由L1产生候选2-项集C2，然后扫描事务数据库对C2中的项集进行计数。
C2 项集 支持度计数 {A, B} 3 {A, C} 4 {B, C} 3 4) 第四步，根据最小支持度，从候选集C2中确定频繁2-项集L2。
L2 项集 支持度计数 {A, B} 3 {A, C} 4 {B, C} 3 5)第五步，由频繁2-项集L2生成候选3-项集C3，生成的候选3-项集的集合C3={A,B,C}，C3的子集都是频繁的，且项集{A，B，C}计数为3，即L3=C3={A,B,C},L3即为频繁3-项集。
由频繁项集产生关联规则如下：
针对频繁3-项集L3，非空真子集有：{A},{B},{C},{A,B},{A,C},{B,C},相应的置信度为：
规则 置信度 A->B&&C 3/4=75% B->A&&C 3/3=100% C->A&&B 3/4=75% A&&B->C 3/3=100% A&&C->B 3/4=75% B&&C->A 3/3=100% 因为最小置信度为90%，故所有关联规则为：
B->A&&C、A&&B->C、B&&C->A
三、假设数据集
D含有9个数据对象（用二维空间的点表示）：
A1(3, 2)，A2(3, 9)，A3(8, 6)，B1(9, 5)，B2(2, 4)，B3(3, 10)，C1(2, 6)，C2(9, 6)，C3(2, 2)
基于欧几里得距离采用k-均值方法聚类，取k=3，初始的簇质心为A1，B1和C1，
求：
(1) 第一次循环结束时的三个簇的质心。 (2) 最后求得的三个簇。
解:（1）第一次循环： d2（A1，A1）=(3-3)2+(2-2)2=0 d2（A1，B1）=(3-9)2+(2-5)2=45 d2（A1，C1）=(3-2)2+(2-6)2=17
因为d2（A1，A1）最小，所以，A1->A1
d2（A2，A1）=(3-3)2+(9-2)2=49 d2（A2，B1）=(3-9)2+(9-5)2=60 d2（A2，C1）=(3-2)2+(9-6)2=10
因为d2（A2，C1）最小，所以，A2->C1
d2（A3，A1）=(8-3)2+(6-2)2=41 d2（A3，B1）=(8-9)2+(6-5)2=2 d2（A3，C1）=(8-2)2+(6-6)2=36