www.zgxzw.com 中国校长网 21概率为
A7A2A3，则摸球次数不超过3次的概率为
911PA2A12122?A1?A7?A7A2?79A29A3912．
19．
解法一：（Ⅰ）∵A1A?平面ABC，BC?平面ABC， ∴A1A?BC．
在Rt△BAC中，AB?AC，D为BC中点， ∴BC⊥AD，又A1AIAD?A
∴BC⊥平面A1AD，又BC?平面BCC1B1 ∴平面A1AD?平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，作AE?C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB?平面ACC1A1．
?AE是BE在面ACC1A1内的射影．
由三垂线定理知BE?CC1，
??AEB为二面角A?CC1?B的平面角．
过C1作C1F?AC交AC于F点， 则CF?AC?AF?1，C1F?A1A?3，
??C?1CF?60．
在Rt△AEC中，AE?ACsin60??2?32?3．
在Rt△BAE中，tanAEB?AB2AE??23．
33??AEB?arctan233，
中国校长网资源频道 A1
C1
B1
E
A
F C
B
D （第19题，解法一）
http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 即二面角A?CC1?B为arctan233．
z A1 C1
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
B1 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，3)，C1(0，1，3)， ∵D为BC的中点，∴D点的坐标为（1，1，0） uuuruuur∴AD?(1,1,0),AA1?(0,0,3),BC?(?2,2,0), uuuruuur∵AD?BC?1?(?2)?1?2?0?0?0 uuuruuurAA1?BC?0?(?2)?0?2?3?0?0
A B x （第19题，解法二）
D C y ∴BC?AD，BC?AA1，又A1AIAD?A， ∴BC?平面A1AD，又BC?平面BCC1B1， ∴平面A1AD?平面BCC1B1． （Ⅱ）∵BA?平面ACC1A1，
uuur如图，可取m?AB?(2，0，0)为平面ACC1A1的法向量，
设平面BC的法向量为n?(l，m，n)， uuur则BCgn?0,CC1gn?0
???2l?2m?0，∴? ???m?3n?0，∴l?2m，n?33m，
?3如图，可取m?1，则n??1，1，?3??， ???2?1?0?1?cos?m，n??2222332?0?33)2217，
2?0?0g1?1?(中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 ∴二面角A?CC1?B为arccos
20．解：（Ⅰ）∵an?1?1an?12anan?11(1217．
，?
1an?1?an?12an2312?121?12an12?1，
? ?1?2an?1)，又a1?，?a1?1?，
?数列{1an?1}是以为
12首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1222221an?1?1?nn122?1n?1?12n，即
1an?12n?1，?nan?n2n?n．
设Tn?则
12?12?223323?…?Tn???…?2n?12n， ①
?n2n?1，②
由①?②得
112121212n?12
Tn???…?12n?n2n?1?2(1?1?1212n)?2nn?1?1?12n?n2n?1，
? ?数列{nanTn?2??n2n．又1?2?3?…?n?2?n2nn(n?1)22．
n?22n}的前n项和 Sn?2??n(n?1)2?n?n?42?．
2222x1)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x得21. 解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x?kx?2?0，
2由韦达定理得x1?x2?x1?x22k2k，x1x2??1，
y M 2 B 1 O N 1 A ?xN?xM??kk2??，?N点的坐标为?，?． 4?48?kk???m?x??， 84??2x 设抛物线在点N处的切线l的方程为y?中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 将y?2x代入上式得2x?mx??直线l与抛物线C相切，
22mk4?k28?0，
?mkk2?222???m?8????m?2mk?k?(m?k)?0，?m?k．
8??42即l∥AB．
uuruuur（Ⅱ）假设存在实数k，使NAgNB?0，则NA?NB，又QM是AB的中点， ?|MN|?12|AB|．
12(y1?y2)?12(kx1?2?kx2?2)?12[k(x1?x2)?4]
由（Ⅰ）知yM?2?k21?k???4???2． 2?24?QMN?x轴，?|MN|?|yM?yN|?22k24?2?k282?k?1682．
又|AB|?1?k?|x1?x2|?221?k?(x1?x2)?4x1x2
22 ?1?k?1?k????4??(1?)2?2?k??1k?．16
?k?1682?1422k?1?k?16，解得k??2．
uuruuur即存在k??2，使NAgNB?0．
2222x1)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x得 解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?x1?x22k2k2，x1x2??1．
?xN?xM??kk2?2?，?N点的坐标为?，?．?y?2x，?y??4x， 4?48?k4?k，?l∥AB．
?抛物线在点N处的切线l的斜率为4?
uuruuur（Ⅱ）假设存在实数k，使NAgNB?0．
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 22uur?r?kk?uuukk?22由（Ⅰ）知NA??x1?，2x1?NB??x2?，2x2??，?，则
48?48???uuruuur?k??k?NAgNB??x1???x2???4??4???2k2??2k2??2x1???2x2??
88?????2k2??2k2?k??k????x1???x2???4?x1???x2??
4??4?16??16???k??k??k??k??????x1???x2????1?4?x1???x2???
4??4??4??4????22?kk??k???x1x2??x1?x2?????1?4x1x2?k(x1?x2)??
416??4??22?kkk??kk????1??????1?4?(?1)?k???
4216??24??2?k???1?16???32??3?k? ??4????0，
??1?k216?0，??3?34k?0，解得k??2．
2uuruuur即存在k??2，使NAgNB?0．
2222．解：（Ⅰ）∵f?(x)?3x?2ax?a?3(x?a3)(x?a)，又a?0， a3? 当x??a或x?a3时，f?(x)?0；当?a?x?a32时，f?(x)?0，
a3)内是减函数．
?f(x)在(??,?a)和(3,??)内是增函数，在(?a,22（Ⅱ）由题意知 x?ax?ax?1?ax?2x?1，
222即x[x?(a?2)]?0恰有一根（含重根）．? a?2≤0，即?2≤a≤2，
又a?0，? a?[?2,0)?(0,2]．
当a?0时，g(x)才存在最小值，?a?(0,2]．∵ g(x)?a(x?1a1a)?a?21a，
? h(a)?a?,a?(0,2]． ?h(a)的值域为(??,1?22]．
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 （Ⅲ）当a?0时，f(x)在(??,?a)和(??a?0?a?由题意得?a?，解得a≥1；
3?1?a??a?a3,??)内是增函数，g(x)在(1a ,??)内是增函数．
当a?0时，f(x)在(??,)和(?a,??)内是增函数，g(x)在(??,)内是增函数．
3aa1??a?0?a?由题意得?a?2?，解得a≤?3；
3?1?a?2??a?综上可知，实数a的取值范围为(??,?3]?[1,??)．
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com