2014年中考数学二轮复习精品资料
方案设计型问题
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲
考点一：设计测量方案问题
这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。 例1 1．（2013?吉林）某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案： 课题 方案 一 测量教学楼高度 二 图示 测得数据 CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43° sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40 sin13°≈0.22，cos13°≈0.97 tan13°≈0.23 参考数据 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93 请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数） 思路分析：若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG=
BG即可得出CG的长，同理，tan?BCGAG可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论． CGAB若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，FBABABAB- 由tan∠AEB=可求出EB的长，由EF=EB-FB且EF=10，可知 =10，故EB0.620.93在Rt△ACG中，根据tan∠ACG= 可得出AB的长． 解：若选择方法一，解法如下： 在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9， ∵CG=6.96.9?=30， tan13?0.23在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°， ∵tan∠ACG=AG， CG∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12， ∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）． 答：教学楼的高度约19米． 若选择方法二，解法如下： 在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°， AB， FBABAB∴FB=≈， tan43?0.93∵tan∠AFB=在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°， AB， EBABAB∴EB=≈， tan32?0.62∵tan∠AEB=∵EF=EB-FB且EF=10， ∴ABAB-=10，解得AB=18.6≈19（米）． 0.620.93答：教学楼的高度约19米． 对应训练 1．（2013?内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC=1：3），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
1．解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3， 设DE=x， 在Rt△CDE中，CE=在Rt△ABC中， ∵DE3=x， otan603AB1?，AB=3， BC3∴BC=33， 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3， ∴AF=x?3=3（x-3）， otan30∵AF=BE=BC+CE， ∴3（x-3）=33+3x， 3解得x=9． 答：树高为9米． 考点二：设计搭配方案问题 这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2 （2013?昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ 思路分析：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可． 解：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x， 由题意得，360360?10?， x0.9x解得：x=4， 经检验得：x=4是原方程的根， 答：打折前每本笔记本的售价为4元． （2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件， 由题意得，360≤4×0.9×y+6×0.9×（90-y）≤365， 解得：672≤y≤70， 9∵x为正整数， ∴x可取68，69，70， 故有三种购买方案： 方案一：购买笔记本68本，购买笔袋22个； 方案二：购买笔记本69本，购买笔袋21个； 方案三：购买笔记本70本，购买笔袋20个； 点评：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系． 对应训练 2．（2013?湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨． （1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案； （2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率． 2．解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得 ?5x?3y?30?， ?x?y?7?x?1?∵x、y为正整数， 当x=1时，y=6，7，8符合题意， 当x=2时，y=5，6符合题意， 当x=3时，y=4，5符合题意， 当x=4时，y=3符合题意， 当x=5时，y=1舍去，
当x=6时，y=0舍去． 共有8种购买方案， 方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支； 方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支； 方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支； 方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支； 方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支； 方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支； 方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支； 方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支； （2）由题意，得， ?5x?3y?28?， ?x?y?7?x?1?购花的方案有： 方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支； 方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支； 方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支； 方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支； ∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案， ∴小明能实现购买愿望的概率为P=5． 8
考点三：设计销售方案问题
在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
例3 （2013?遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由． 思路分析：（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；
（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论． 解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：