第二章 数列 单元测试2
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是( ) A．0 C．2 [答案] A
[解析] 由条件b2＝ac，Δ＝b2－4ac＝－3b2<0(∵b≠0)．
2．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为26，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是( )
A．3 C．5 [答案] A [解析] 由题意，S＝41，∴a6＝3.
3．(2010·江西文，7)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( ) A．(－2)n－1 C．(－2)n [答案] A
[解析] ∵|a1|＝1，∴a1＝1或－1，∵a5＝－8a2＝a2q3，a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2， 又a5>a2，∴a2q3>a2，∴a2<0，
∵a2＝a1q<0，∴a1>0，∴a1＝1，∴an＝(－2)
n－1
偶
2
B．1 D．0或2
B．4 D．6
－S
奇
10?a5＋a6?
＝5d，∴d＝－2.2，S10＝＝5(a5＋a6)＝5(2a6＋2.2)
2
B．－(－2)n－1 D．－(－2)n
.
4．已知数列{an}的通项公式an＝3n－50，则前n项和Sn的最小值为( ) A．－784 C．－389 [答案] B
[解析] 由3n－50≥0及n∈N*知n≥17，∴n≤16时，an<0，a17>0，∴S16最小，S16＝16a1＋
16×15
d＝16×(－47)＋120×3＝－392. 2
B．－392 D．－368
5．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，Cn＝an＋bn，若数列{Cn}是1,1,2，…，则{Cn}的前10项之和为( )
A．978 C．476 [答案] A
[解析] C1＝a1＋b1＝1，b1＝0，∴a1＝1，a2＝q，a3＝q2，b2＝d，b3＝2d. 由C2＝a2＋b2＝1，C3＝a3＋b3＝2得，
??q＋d＝1?2，解得q＝2，d＝－1， ?q＋2d＝2?
B．557 D．非上述答案
1·?210－1?10∴{an}前10项的和为：＝2－1，
2－110×9
{bn}前10项的和为10×0＋×(－1)＝－45，
2∴{Cn}前10项的和为210－1－45＝978.
6．{an}是公差为－2的等差数列，若a3＋a6＋a9＋…＋a99＝－82，则a1＋a4＋a7＋…＋a97等于( )
A．150 C．50 [答案] C
[解析] a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d) ＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋66d＝－82， 又d＝－2，∴a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50.
7．有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余的钢管有( )
A．9根 C．19根 [答案] B
n?n＋1?*
[解析] 由≤200，及n∈N知n≤19.
2又200－
19×?19＋1?
＝10. 2
B．10根 D．20根 B．－82 D．－50
∴剩余钢管有10根．
1
8．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Mn表示它的前n项之积，即Mn＝
2a1·a2·a3…an，则数列{Mn}中的最大项是( )
A．M11 C．M9
B．M10 D．M8
[答案] C
11
[解析] 由题设an＝512·(－)n－1.∴Mn＝a1·a2·a3…an＝[512×(－)0]×[512×(－
221111
)]×[512×(－)2]×…×[512×(－)n－1] 222
11＋2＋3＋…＋(n－1)n
＝512×(－)
2
n?n－1?n?19－n?1n?n－1?
＝512n×(－)＝(－1)·2 2222n?19－n?
由于当n＝9或10时，2取最大值．
2n?n－1?
而n＝9时，(－1)＝1，
2
n?n－1?
n＝10时，(－1)＝－1，∴M9最大．
2[点评] 此题若直接用列举法可很简明求解：
a1＝512，a2＝－256，a3＝128，a4＝－64，a5＝32，a6＝－16，a7＝8，a8＝－4，a9＝2，a10＝－1，
当n≥11时，|an|<1，又M9>0，M10<0，∴M9最大．
9．等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项的和为( ) A．54 2C．66
3[答案] D
[解析] Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列， 2
∴(60－54)2＝54×(S3n－60)，∴S3n＝60. 3
10．(2011·四川资阳模拟)数列{an}的通项公式为an＝2n－49，当该数列的前n项和Sn
达到最小时，n等于( )
A．24 C．26 [答案] A
n?n－1?[解析] 解法1：a1＝－47，d＝2，∴Sn＝－47n＋×2＝n2－48n＝(n－24)2－576，
2故选A.
解法2：由an＝2n－49≤0得n≤24.5，∵n∈Z，∴n≤24，故选A.
11．一个等比数列前n项的和为S，前n项的倒数和为T，则其前n项的积是( )
B．25 D．27 B．64 2D．60 3
n
A．(ST)
2SnC．()
T2[答案] C
[分析] 可用求和公式分q＝1与q≠1讨论．作为选择题用检验法解：
nn
[解析] 取常数列，an＝a(a≠0)，则S＝na，T＝，a1a2…an＝a，可知C成立．
a12．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an
＋1
B．(ST)
n－2
S
D．()n
T
1
(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
3A．－5 C．5 [答案] A
[分析] 根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an
1B．－ 51D. 5
的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．
[解析] 由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，
∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×3＝3， 15
∴log(a5＋a7＋a9)＝－log33＝－5.
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) a3＋a5
13．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则＝
a4＋a6
__________.
[答案]
5－1
2
3
5
[解析] ∵a3，a5，a6成等差，∴2a5＝a3＋a6， 即2q2＝1＋q3，∴(q－1)(q2－q－1)＝0， ∵q≠1，∴q2－q－1＝0，∴q＝
1±5， 2
1＋5a3＋a515－1
又q>0，∴q＝，∴＝＝.
2a4＋a6q2
14．(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________.
a 1 b 2 c 6 [答案] 22
[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公4＋6
比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边为＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2
2知a＝1×2＝8，∴a＋b＋c＝22.
S9
15．(2009·全国Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则＝________.
S5[答案] 9
[解析] 解法一：设等差数列{an}的公差为d， 3
∵a5＝5a3，∴a1＋4d＝5(a1＋2d)，∴a1＝－d，
2127459a1＋×9×8×d－d＋36ddS9222∴＝＝＝＝9. S51155
5a1＋×5×4×d－d＋10dd
2229?a1＋a9?9×2a5S229a
解法二：9＝＝＝5，
S55?a1＋a5?5×2a35a3
22S99a5
∵a5＝5a3，∴＝＝9.
S55a3
16．(2011·辽宁省鞍山市高二期中)若各项均为正数的等比数列{an}满足a2＝2a3－3a1，则公比q＝________.
3[答案]
2
[解析] ∵a2＝2a3－3a1，∴q＝2q2－3， 3
即2q2－q－3＝0，∵an>0，∴q>0，∴q＝. 2
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q.
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立，若存在求之，若不存在说明理由．
3