=2J(x)Tf(x) （2— 10） 矩阵J(x)为f(x)在x处的Jacobi矩阵。 将fi(x)在点x(k)处Taylor展开到一次项：
fi(x)?fi(x(k))??fi(x(k))(x?x(k)) （2— 11）
?f1(x(k))???1?????(k)??f2(x)??2?(k)f(x)???J(x)?f(x)?J(x)? （2— 12） (k)???x??????(k)????n???fn(x)???F(x)?J(x(k))Tf(x(k))?J(x(k))?(k)=0 （2— 13）
??得迭代公式：
x(k?1)?x(k)?J(x(k))TJ(x(k))???1J(x(k))Tf(x(k))?x(k)?p(k) （2— 14）
为了保证收敛于最优解，减少初值的影响，对（2-16）式进行了改进，增加步长因子得迭代方程：
x(k?1)?x(k)??(k)p(k) （2— 15）
使得 F(x(k)??(k)p(k))?F(x(k))
同时不断地调整?以改变搜索步长，增加解的稳定性和收敛速度。 在（2-8）式中，要求对称半正定矩阵J(x(k))TJ(x(k))是非奇异的，由于fi(x)的复杂的非线性，这一要求并不总能满足，造成J(x(k))TJ(x(k))是病态的或接近病态的，导致收敛速度极慢或计算终止，为此，进行了改进，增加阻尼因子，增大矩阵J(x(k))TJ(x(k))的主对角线元素，迭代方程为：
x(k?1)?x(k)??(k)J(x(k))TJ(x(k))??I???1J(x(k))Tf(x(k)) （2— 16）
Jacobi矩阵元素的求解，用有限差分代替一阶导数：
(k)(k)(k)??fi(x)?f(x??x)?f(xjjj)i??=i （2— 17） (k)??x??xjj?x(k)?根据对称矩阵J(x(k))TJ(x(k))的正交分解，可以分解为：
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J(x(k))TJ(x(k))=R?RT （2— 18）
?为J(x(k))TJ(x(k))的特征值构成的对角线矩阵，而R为J(x(k))TJ(x(k))的特
征向量矩阵，且满足
RTR?RRT?I （2— 19）
[J(x(k))TJ(x(k))+?I]=[R?RT+?I]=R?'RT （2— 20）
??1????????02? （2— 21） ?'???0???????r???i为J(x(k))TJ(x(k))的特征值，矩阵[J(x(k))TJ(x(k))+?I]的条件数为： ?max???max?min=cond[J(x(k))TJ(x(k))] （2— 22） cond[J(x)J(x)+?I]=min????(k)T(k)3.3.3 遗传算法
遗传算法是模拟自然进化过程搜索全局最优解的方法。 遗传算法的优越性主要表现在它在搜索过程中不容易陷入局部最优解，即使在所定义的适应函数是不连续的、非规则的或有噪声的情况下，它也能以很大的概率找到全局最优解。
遗传算法象撒网一洋，在参变量空间中进行搜索，由串组成的群体在遗传算子的作用下，同时对空间中不同的区域进行采样计算，从而构成一个不断变化的群体序列。
为了避免陷入局部最优，在遗传算法中还引入了变异，一方面可以在当前解附近找到更好的解；另一方而还可以保持群体的多样性，确保群体继续进化。
为了寻找最优解，传统方法是用启发式策略，在单个猜测解的邻域探寻，即使算法中允许偶尔地跳到解空间中更远的部分，这些启发式算法也往往趋向于陷入局部最优。通过保持在解空间不同区域中多个点的搜索，遗传算法以很大概率找到全局最优解。
遗传算法中，控制参数的不同对遗传算法的性能产生很大的影响，要想得到遗传算法执行的最优性能，必须确定最优的参数设置。
（1）群体规模npopsiz
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群体规模影响到遗传算法的最终性能和效率。当规模太小时，造成群体的样本量不足，得到的结果不佳；群体规模较大时，可以阻止早熟而收敛局部最优解，但是计算量大大增加，导致收敛速度过慢。
（2）杂交率pc
杂交概率控制杂交算子的应用的频率，在每代新的群体中，有pc?npopsiz个串进行杂交。杂交率越高，群体中串的更新就越快。如果杂交率过高，相对选择能够产生的改进而言，高性能的串被破坏得要更快，特别是小群体种群，致使过早收敛到局部最优解。如果杂交率过低，搜索会由于太小新的探索点而停滞不前。最优杂交率与群体规模有关系，对于中等规模得群体（30到90），随着群体规模得增加，最优杂交率出现减小得现象。在群体规模为30的所有遗传算法中，最优杂交率在0.88左右；当群体规模在50时，最优杂交率在0.50左右；当群体规模在80时，最优杂交率在0.30左右。
（3）变异率pm
变异是增加群体多样性的搜索算子，每次选择之后，新的群体中的每个串的
l为串长。每一位以变异率pm进行变异，从而每代大约发生pm?npopsiz?l次变异，
一个低水平的变异率足以防止整个群体中任一位保持永远收敛到单一值。高水平的变异率产生的实质是随机搜索；适当的变异率有助于过早收敛到局部最优。
针对岩土工程优化反演的特点，本程序算法设计如下： （1）采用二进制编码；
（2）初始群体规模根据需反演的个数而定，随反演参数的增加而增大； （3）采用锦标赛选择；并采用最优保留算法；
（4）原始目标函数为实测值与计算值的平方和，属于极小化问题；采用非线性对适应值加速；
（5）杂交算子，提供两种杂交方式，单点杂交和均匀杂交；杂交概率根据种群规模以及杂交方式而定，一般单点杂交概率为0.9，均匀杂交率0.5，按照锦标赛法选取两个父本进行杂交；
（6）变异算子，采用了突变变异方式；变异概率随种群规模的增加而减少； （7）算法停止规则，在给定最大迭代代数的前提下，连续代最优值没有进
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化，算法终止，但具体多少代也可根据具体情况而定；当gen?maxgen，算法终止。
3.3.4 遗传模拟退火算法
模拟退火（simulated annealing）算法是是局部搜索算法地扩展。它不同于局部搜索之处是以一定地概率选择领域中适应值较好的解空间，因此，在理论上是全局优化方法。模拟退火算法的核心在于模仿热力学中液体的冻结与结晶或金属熔液的冷却与退火过程。在高温状态下，液体的分子彼此之间可以自由运动。如果液体徐徐冷却，它的分子就会丧失由于温度而引起的流动性。这时原子就会排列起来而形成一种纯晶体，它们依次有序排列成几十倍于单个原子大小的距离，这个纯晶体状态就是该系统的最小能量状态。模拟退火就是模拟上述过程的一种通用随机搜索技术。
遗传算法是一种性能较好的算法，但是它在实际应用中容易产生早熟现象，即在进化群体中少数个体的适应值远大于其他个体的适应值，经过几代迭代后，这些个体就占据了整个群体，进化过程提前收敛。对于传统的遗传算法，竞争是在子代中进行的，而子代和父代之间没有竞争。这样父代中的优良个体有可能丢失。一些算法通过直接将群体中的最优解放入下一代群体中来保存最优解，但这有可能引起早熟收敛的问题。此外，由于遗传算法采用的是随机交叉和变异因子，交叉和变异后的个体不一定都是优良个体，这会破坏原有的优良个体，影响算法的性能。
将遗传算法和模拟退火算法耦合，形成模拟退火算法，对杂交和变异后个体引入Boltamann接受准则，同父代进行竞争；不但避免了算法的早熟问题，同时使群体中的最优解得到保留，并利用模拟退火的爬山性能改善了遗传算法的性能。具体算法如下：
（1）初始化参数：群体规模npopsiz；杂交概率pc和变异概率pm；退火初始温度T0；温度冷却系数?。
（2）随机产生初始解群。 （3）个体适应值评价。
（4）判断是否满足收敛条件。满足条件，算法停止；否则，继续，Tk?1??Tk。
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（5）利用锦标赛选择复制父代个体到子代。
（6）利用杂交算子从当前代中随机选取两个父本个体xi和xj按一定规则进行杂交，杂交概率pc决定运算是否进行。若杂交发生，并且杂交后个体为x'i和
x'j，计算其适应值fitness(x'i)和fitness(x'j)；若fitness(xi)?fitness(x'i)，
fitness(xj)?fitness(x'j)，则接受杂交后个体为x'i和x'j；否则，以一定概率接受杂交后个体x'i和x'j，即若：
?fitness(x'i)?fitness(xi)?min?1,exp(?)??random(0,1) （2— 23）
T???fitness(x'j)?fitness(xj)???min?1,exp(?)??random(0,1) （2— 24）
T????则接受x'i和x'j，否则拒绝x'i和x'j。
（7）变异算子以概率pm作用于下一代的每个串上，若变异发生，则变异后的个体接受与否，按（6）的接受准则进行。转到（3）。
3.3.5 混合遗传算法
混合遗传算法把最小二乘法应用到遗传算法，增加阻尼算子，加快遗传算法的收敛速度、收敛精度。
具体算法如下：
（1）给定初始值；群体规模npopsiz，杂交概率pc，变异概率pm，阻尼算子概率ps，阻尼系数等其他相关参数。
（2）二进制编码。 （3）形成初始种群。
（4）计算各个体的适应值，并用非线性加速。
（5）判断是否满足收敛条件（在给定最大迭代代数的前提下，连续15代最优适应值无进化）。满足条件，算法停止；否则，继续。
（6）利用锦标赛法进行选择并复制到下一代（子代）。
（7）利用锦标赛法选取两个父本的染色体按一定规则进行杂交（单点杂交
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