求自然数倒数平方的级数和： 1?122?132?142?......1n2?.....。
伯努利公开征求这个问题的求解方法。
三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。
下面先来看其他方法之一是如何证明1?122?132?142?......1n2?.....??26的
设所有的排列为2<3<5<7<…… ?，只可能出现下面的情况： A1:?与?互素A2:?与?A3:?与?； 的公因子有2； 有公因子3； …………. Aq:?与?有公因子q；……. 因此A1,A2,A3,......Aq,....是必然事件?，且知?Ai,i?2,3,.....?是相互独立的，设?中有因子q，那么?必定是q的倍数，那也可知P??是q的倍数?=同理也有P??是q的倍数?=PAq?1?1q1q。 ，那么P??、?有公因子q?=1q2。由对立事件知道 ??1q2。根据对偶规律A1?A2?A1?A2,根据他们的独立性，可知 ...?.P?P?A?P?.A?34q P?AP1??2??A1??1??A?..?..?21?1??2?23?????1??.....1 ??2q??......根据欧拉的变换无穷乘积为级数的方法 PA1=??1??n?11n2?6?2. 下面我们就用大数定律的办法来求解这个级数的和。 从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为 Mn2，Bni表示第 i次取出n的倍数事件（i=2，3，4，…..）。 - 8 - 根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n的倍数的条件下，这两数的最大公因子是n的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有 ??PM P?Mn2Bn1Bn? ?221? 显然Mn2?n?1,2,...?是互不相容的，且有?=?Mn2。 n?1Bni与n是相互独立的，P?Bni???1n,?n?1,2,...?,P?Bn1Bn2??1n2 P?M21?1n2???P????1?P??Mn2???n?1???n?1?P?Mn2??P?Mn2|Bn1Bn2?P?Bn1Bn2??1?6?n?1 于是就有P?M21???n?11n2?2。 根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为 1?1226?2。于是知所求级数的和为 ?2?132?142?......1n2?.....?6。 3.1.3多项式逼近连续函数 分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思,证明清晰明了。作者在文献[6 ] 中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数, 而非借助于传统的Cantor 展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。 例2假设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在一列多项式B1(x),B2(x),?,一致收敛于函数f(x)。 证明：不妨设a=0，b=1。可引入新的变量u：x=(b?a)u?a，使u?[0,1]， 那么 由f(x)在[a，b]上连续可知f(x)在[0,1]上一致连续且有界。即对于任意 ?>0，存在?>0，只要x1?x2 ?2，其中x1，x2?[0,1]， 此外，对于任意x?[0,1]，有f(x)?k（k为常数）。 设随机变量?1，?2??n服从二项分布，则可建立多项式： Bn(x)=Ef( n1n?n) mn)Cnxmm = ?m?0f((1?x)n?m - 9 - 其中x?[0,1]，参数n?1。显然Bn(0)= f(0)，Bn(1)= f(1)。由贝努力大数定律知： ??n? limp??x????1，x?[0，1]。 n????nn由于?m?0Cnxmm(1?x)n?m=1， 故有： nBn(x) —f(x)= n?[f(m?0mnmn)?f(x)]Cnxmm(1?x)n?m ?mn?m?0f()?f(x)Cnxmm(1?x)n?m mm= mn??x??f()?f(x)Cnxmm(1?x)n?m+ mn??x??f(mn)?f(x)Cnx(1?x)n?m < ?2+2k mn?c?x??mnx(1?x)mn?m??n?=+2kP??x???。 2??n?而对于任意x?[0,1]， ??n?nnp?x，可见存在N，使当n>N时， P????x????4k??n， 从而，当n>N时，对于一切x?[0,1]，有： Bn(x)?f(x)< ?2??4k?2k= ?2+ ?2=? 即Bn(x)关于x?[0,1]一致收敛于f(x)。 从上可以看出大数定律在极限、重积分、级数以及多项式逼近中都有重要应用，其实概率论学科和数学分析只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅仅这么狭窄，它在求很多高等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论中也有不俗的表现，比如在信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数定律在实际生活中的精彩的表现，它涉及到很多与我们贴身的行业。 [8]3.2大数定律在保险业的应用 - 10 - 3.2.1保险动机的产生 现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。 保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。 例如某企业有资金Z单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为Z1个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金 Z?Z1单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为f?Z?，显然有 f?Z??f?Z?K?，当K?Z1时为预期风险条件下利润损失额。当ff?Z???Z?0时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这?K?就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。 具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。 假设这种随机现象为Xi(i?1,2,....,n)，则Xi的概率分布为： Xi取值 0 Z1 1?P概率 P 上表中，P为风险发生的概率，Z1为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数学期望为E?Xi??Z1P。 根据契贝晓夫大数定律，当Z1有限时，???0， ?1lim?Pn??n?n?i?1?Xi?Z1P????0. ?- 11 - ???0，上述式子可以表述为：n个具有某种同类风险，且风险的发生是相 互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。 定理6 [1] 在n重伯努利实验中，事件A在每次试验中出言的概率为p，(0?p?1)，?n为n此试验中出现A的次数，则 ???np?nlimP??x????n??npq???x??12??e?t22dt。 定理7 [1] 设随机变量X1，X2，?，Xn，?相互独立，服从同一分布，且具 有数学期望和方差E（Xk）=μ,D(Xk)=σ2≠0(k=1,2,?).则随机变量 n?Yn?k?1?n?Xk?E??Xk??k?1?nn??k?1Xk?n?n? D(?Xk)k?1的分布函数Fn（x）对于任意x满足 ?n?X?n??k???k?1?limFn(x)?limP??x??n??n??n????????x12π??e?t22dt. 根据上述中心极限定理，由事先约定的??0，则 ?1?P?nn?i?1???Xi?Z1P????2?1????????????????P(1?p)???n 这样，由事先给定的?、?、P确定出参加某种风险保障的企业最小数目n. 例如：当?=0.01、P=0.0012，则当约定?=0.001时，一定有n?130,也就是说当n?130时，上述的结果成立。 依据上述结果，从两个方面来看， 从微观上看，因为0?P?1,则Z1?PZ1，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有f?Z?Z1??f?Z?PZ1?。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。 从宏观上看，如果有n个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为 D1???f?Z??f?Z?Z??。 ii1i?1n其中fi?Z?表示第i个企业的利润函数（i=1,2,…..n）. 而这n企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为 - 12 -