导数的应用（二）
【2013年高考会这样考】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、
极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题
1．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这 个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大 值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小 值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最 小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小) 值；
(4)回归实际问题作答． 预习检测：
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1．已知函数f(x)＝x4－x3＋2x2，则f(x) ( )
43A．有极大值，无极小值 B．有极大值，有极小值 C．有极小值，无极大值 D．无极小值，无极大值 答案：C
2x
2．函数y＝2 ( )
x＋1A．最大值为1，无最小值
B．无最大值，最小值为－1 C．最大值为1，最小值为－1 D．无最大值，也无最小值 答案：C
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案：C
4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝ 1
－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) 3A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当 x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C. 答案：C
x2＋a
5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
x＋1解析：∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0，
2x?x＋1?－?x2＋a?2×1×?1＋1?－?1＋a?
又f′(x)＝，∴f′(1)＝＝0，
?x＋1?2?1＋1?2即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3. 答案：3
考向一 函数的极值、最值与导数 【例1】已知函数f(x)?x?ax?3x。
（Ⅰ）若f(x)在区间(1,??)上是增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若x??是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)?bx的图像与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
反思感悟：善于总结，养成习惯
运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：
(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果
3213左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 迁移发散
1.【2012高考真题重庆理8】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f,(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图
像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 【答案】D
【解析】由图象可知当x??2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.当?2?x?1时，
y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当1?x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.所以函数f(x)有极大值f(?2)，极小值f(2),选D.
2.【2012高考真题新课标理12】设点P在曲线y?（ ）
1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ最小值为2(A)1?ln2 (B) 2(1?ln2) (C) 1?ln2 (D)2(1?ln2)
【答案】B 【解析】函数y?1xe与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于y?x对称 21xe?x1x1x2 函数y?e上的点P(x,e)到直线y?x的距离为d?
222 设函数g(x)?1x11?ln2 e?x?g?(x)?ex?1?g(x)min?1?ln2?dmin?222 由图象关于y?x对称得：PQ最小值为2dmin?2(1?ln2), 3.【2012高考真题陕西理7】设函数f(x)?xex，则（ ） A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点
[学【答案】D.
【解析】?f(x)?xex,?f'(x)?ex?xex，令f'(x)?0，则x??1，当x??1时f'(x)?0，当x??1时f'(x)?0，所以x??1为f(x)极小值点，故选D. 4.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分) 已知函数f(x)?lnx?k（k为常数，e?2.71828???是自然对数的底数），曲线y?f(x)在点(1,f(1))处xe的切线与x轴平行. （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设g(x)?(x2?x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2. 【答案】
5. 函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点p(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行 (1)求a，b；
(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax
??f?1?＝0
由已知条件?
?f′?1?＝－3????a＋b＋1＝0?a＝－3
?即，解得? ?2a＋3＝－3???b＝2
.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) f′(x)与f(x)随x变化情况如下： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) f(x) ＋ ?↗ 0 2 － ?↘ 0 －2 ＋ ?↗ 由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3 因此根据f(x)的图象
当0