导数的应用二教师版(2)

当2

当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为 f(2)＝－2.

6. （2011潍坊期末考试）已知定义在实数集上的函数fn(x)?xn,(n?N?)，其导函数记为fn(x)，且满足fn[ax1?(1?a)x2]?''f2(x2)?f2(x1),

x2?x1其中a、x1、x2为常数，x1?x2．设函数

g(x)?f1(x)?mf2(x)?lnf3(x),(m?R且m?0)．

（I）求实数a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)无极值点，其导函数g?(x)有零点，求m的值； （Ш）求函数g(x)在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

考向四 用导数解决生活中的优化问题

（09年山东）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

上选择一点C建造

垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B

的中点时，对城

的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?设

224k?(0?x?20) x2400?x2C x A ,

B 所以

49?(0?x?20) 22x400?x,

则

m?x2,n?400?x24m?(9nm?n?400y?y?m?4n9?)?4m0n0[4?11n03m4?(0m49?,mn94n19m(当?且)仅当]??即?1n4m0n013??n?240时取”=”. ??m?160下面证明函数y?49?在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400?m设04×240×240 9 m1m2<9×160×160所以

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)所以(m2?m1)494(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0即y1?y2函数y??在(0,160)上为减函数.

m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)同理,函数

y?49?m400?m在(160,400)上为增函数,设

160

y1?y2?4(400?m1)(400?m2)?9m1m24949 ??(?)?(m2?m1)m1400?m1m2400?m2m1m2(400?m1)(400?m2)因为16009×160×160 所以

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)494(400?m1)(400?m2)?9m1m2在(160,400)上为增函?0即y1?y2函数y??m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)所以(m2?m1)数.

所以当m=160即x?410时取”=”,函数y有最小值, 所以弧

上存在一点，当x?410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.

【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换

元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 迁移发散

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为

80?立方米，且l?2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已3知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c?3）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

4?380804r??(l≥2r)，即l?2?r≥2r，则0?r≤2. 333r380422容器的建造费用为y?2?rl?3?4?r?c?6?r(2?r)?4?rc，

3r3160??8?r2?4?r2c，定义域为{r0?r≤2}. 即y?r解析：（Ⅰ）由题意可知?rl?2（Ⅱ）y???160?203??16?r?8?rcy?0，令，得. r?r2c?2令r?320?2,即c?4.5， c?220≥2,当0?r≤2，y??0，函数y为减函数，当r?2时y有最小值； c?2（1）当3?c≤4.5时，3（2）当c?4.5时，3202020，y??0；当r?3时y??0， ?2,当0?r?3c?2c?2c?2此时当r?320时y有最小值。 c?2方法总结 感悟提升

1．极大值与极小值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质，极大值并不一定大于 极小值，因此应注意理解，并与最值分开．

2．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大 值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

3．要强调导数的工具性作用，在处理方程的根、不等式恒成立等问题时，注意导数的应用.