第1讲 板形控制的基本理论
板形是带钢产品的主要质量指标之一。良好的板形不仅是带钢用户的永恒要求，也是生产过程中保证带钢在各条连续生产线上顺利通行的需要。因此，解决产品板形问题、提高实物板形质量始终是板带生产中重点关注和孜孜以求的目标之一。与此相对应，关于板形理论和板形技术的研究在近几十年一直都是本领域中的热点课题，并且取得了长足的进步。目前，关于板形理论和板形技术的研究仍呈蓬勃向前的发展态势。
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板形的概念
1. 板形的描述 板形统指带材的横截面几何形状和带材在自然状态下的表观平坦性两
个特征，如图1-1所示。因此要定量描述板形就需要分别反映横截面几何形状和平坦性的多个指标。一般地讲，板形包括凸度、楔形、边部减薄量、局部高点和平坦度五项内容。
(1) 凸度 即横截面中点厚度hf(0)与两侧边部标志点平均厚度之差，以CW表示
CW?hf(0)?0.5[hf(B/2?be)?hf(be?B/2)] (1-1)
式中 B??带材宽度；
hf(x)——带材横截面上距中点x处的厚度；
be??带材边部标志点位置，一般取be = 25mm或40mm。
(2) 楔形 即横截面操作侧与传动侧边部标志点的厚度之差，以CW1表示
CW1?hf(be?B/2)?hf(B/2?be) (1-2)
(3) 边部减薄量 即横截面操作侧或传动侧的边部标志点厚度与边缘位置厚度之差。
EM = hf (B/2-be) - hf (B/2-be) (1-3) EO = hf (be-B/2) - hf (be-B/2) (1-4)
式中 be??带材边缘位置，一般取be= 5mm； EM——传动侧边部减薄量； EO——操作侧边部减薄量。
(4) 局部高点 指横截面上局部范围内的厚度凸起。
heo’ heo hc hed hed’e1 e2 BW a)
z y W(x,y) b) Rw o w Lw x B b)
图 1-1 板形横截面几何形状及平坦度
a)横截面几何形状；b)平坦度
对于宽带材有时需进一步把带材凸度区别定义为二次凸度CW2和四次凸度CW4。此时B值较大，在横截面上从(be-B/2)到(B/2-be)的范围内测取多个厚度值， 并把它们拟合为如下一条曲线
hf (x) = bo + b1 x+ b2x2 + b4 x4 (1-5)
并且可以根据需要定义各次凸度表达式。如采用车比雪夫多项式，则有
CW1=2b1
CW2=－(b2+b4) (1-6) CW4=－b4/4
式中 b0、b1、b2、b4——多项式的系数，由拟合得到。
此外，有时也用到比例凸度，即凸度与横截面中点厚度之比。
(5) 平坦度 即板带材表观平坦程度。由于在轧制过程中和成品检验时一直使用着多种平坦度测量手段(方法)， 所以也就存在着多种平坦度定义方法。
1) 波高Rw法 Rw是自然状态下带材瓢曲表面上偏离检查平台的最大距离，也可近似为曲面函数w(x，y) 的最大值。
2) 波浪度dw法 dw是波高Rw和波长Lw比值的百分率。dw也叫做陡度 (Steepness)
dw = Rw /Lw·100% (1-7)
3) 纤维相对长度差?w(x)法 在自由带钢的某一取定长度区间内，某条纵向纤维沿带钢表面的实际长度LW(x)对参考长度(理想水平长度)L0的相对长度差记为?w(x)，所以
?w(x)=(Lw(x)-L0)/L0 (1-8)
可见?w(x)是沿横向变化量，其单位定义为I-unit， 1I-unit = 10-5。有时用?w表示沿横向的最大纤维相对长度差，并且如果浪形为正弦函数，在同一个瓢曲浪形上有
?225 ?w?()?(dw)?10 (1-9)
24) 应力(应变)差法 当使用测张应力式板形仪时，就以实测的在线带材中不均匀分布前张应力对平均张应力的差值表示平坦度，记为?f(x)。为了和带材前张应力、内应力区别，把
?f(x)叫做板形检测应力。有时又将弹性拉伸应变差等价为纤维相对长度差，即?f(x)=E·?w(x)
×10-5。此时?f (x)和?w(x)一样是沿板宽方向上变化量， 并且总和为零。
对于宽带材，当用应力(应变)差法表示平坦度时，为了和凸度对应并满足控制上的需要，
定义了一次板形平坦度缺陷、二次板形平坦度缺陷和四次板形平坦度缺陷，并分别用?1、
?2和?4表示。各次平坦度缺陷的数学表达式可根据轧机实际设计。如果采用车比雪夫多项
式，则有
?f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a4x4 (1-10)
??1?2a1???2?a2?a4 (1-11) ???a/4?44式中 a0、a1、a2、a4——多项式的系数，由拟合得到。
2. 浪形的生成 带材的横截面几何形状和平坦度相互关联并可以相互转化。在轧制过程中，具有一定横向厚度分布Hf(x) 的平坦来料经过一定形状gf(x) 的有载辊缝后，被轧成具有横向厚度分布hf(x)(一般近似取hf(x)与gf(x)等同)和一定平坦度大小的带材。其间带钢沿横向的厚度压缩量分布，也即Hf(x) - hf(x)，转变为沿横向为一定分布的纵向塑性延伸率
?(x)。如果?(x)沿横向分布不均匀，带钢离开辊缝并经弹性回复后沿横向各纤维条将具有不
相等的长度Lw(x)，沿横向各纤维条的长度变化近似可用?w(x)表示。(Hf(x) - hf(x))与?w(x)之间存在未知的转化关系函数?(x)， 即
?w(x)= ?(Hf(x)-hf(x)) (1-12)
一般地，如果?(x)沿横向均匀分布，即?w(x)=0，则带材轧后仍保持平坦；否则，轧后带材中沿横向存在纤维相对长度差?w(x)。?w(x)就是板形平坦度缺陷(平坦度不良)的根源。在带张力轧制时，假设带材在前张力作用下完全弹性地被拉伸平直，那么?w(x)又转化为不均匀分布的板形检测应力?f(x)，有
?f(x)= E·?w(x) (1-13)
式中 E——带钢的杨氏模量。
当带材卸掉张力作用或离开轧制线后，板形检测应力消失，但带材中仍存在不均匀分布的内应力，也叫残余应力。无论在线还是离线，如果带材中的沿横向最大纤维相对长度差没有超过临界屈曲应变差，带材不发生翘曲变形。否则，带材将发生翘曲变形(带材在翘曲变形过程中有内应力松弛)。这时板形平坦度缺陷除了表现为不均匀分布的应力外，同时表现为另一种明显形式——瓢曲浪形w(x，y)。习惯上把瓢曲浪形按位置分为单侧边浪、双侧边浪、中浪、四分之一浪、边中复合浪及任意位置局部浪形。常见各种纵向连续瓢曲浪形曲面都可用如下函数表达
Z = w(x，y) = wx(x) wy(y) (1-14) Wx (x) = [r0 + r2 (2x/B) + r4 (2x/B) + r6 (2x/B) + r8 (2x/B)] (1-15)
R?y (1-16) Wy(y)?w?sin式中 r0、r2、r4、r6和r8——多项式的系数。
2Lw2
4
6
8
式(1-15)为偶次多项式，它可以表达常见各种关于xoy平面对称的浪形，但不能表达非对称的浪形。对于非对称浪形需Wx(x)函数是含有奇次项的多项式。
严格地讲，只要沿横向有不均匀延伸存在或有不均匀分布应力存在，就可以说带材板形平坦度不良。但实际上通常只把自然状态下带材表现出的瓢曲浪形w(x，y)才叫平坦度缺陷，如果没有瓢曲浪形，w(x，y)=0，则认为平坦度良好。在板带生产过程中，企业是按国家或
企业标准来组织生产、检验成品，只要带材上的瓢曲浪形w(x，y)不超过标准规定值，就认为是平坦度合格的产品。
带材的横截面几何形状变化与平坦度的相互转化关系，也即浪形的生成过程可以用图1-2形象反映。其中二次凸度对应生成双侧边浪或中浪(即二次板形平坦度缺陷)，四次凸度对应生成四分之一浪或边中复合浪(即四次板形平坦度缺陷)。楔形既与带钢整体镰刀弯的生成有关，也与单侧边浪的生成有关。在板形控制中楔形与一次板形缺陷相对应。 承载辊缝 +? 轧件残力应力 理论分布 0 -? +? 板形仪显示 0 应力分布 -? 生成浪形 单侧边浪 双侧边浪 中浪 四分之一浪 边中复合浪 图1-2 板形的生成过程
3. 板形平坦度良好条件 一般认为，如果在轧制过程中塑性延伸率?(x)沿横向处处相同则板形平坦度是良好的。由此可得出，对于平坦来料保证轧后带材板形平坦性良好的几何条件是比例凸度恒定，即
Hf(0)?Hf(x)Hf(0)?hf(0)?hf(x)hf(0) (1-17)
以上等式是在理想条件下得出的，没有考虑轧制区中带材宽度的变化和金属横向流动的影响。理论和实践都证明有时获得良好板形平坦度并不需要严格遵守上式，因此目前常用于板形控制中的是其修正形式。
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板形控制原理
板形控制和厚度控制的实质都是对辊缝的控制。但厚度控制只须控制辊缝中点处的开度
精度，而板形控制则必须控制沿带材宽度方向辊缝曲线的全长，即函数gf(x)。轧制过程中，影响辊缝形状的因素很多。如果取如图1-3所示辊系模型，其中力学因素有总轧制力，单位宽度轧制力分布p(x)， 弯辊力F及辊间接触压力。几何因素有初始辊形，变位辊形Dv(x)(包括CVC、HC轧辊轴向移位，PC轧辊交叉和VC、NIPCO轧辊膨胀变形)，热辊形DT(x)， 磨损辊形Dw(x)，来料横截面几何形状与平坦度和轧件宽度等。对其中相关项整理合并，以方程表示各影响因素与辊缝的关系
图1-3 板带轧机辊系承载示意图
gf (x) = G (B，p(x)，F，Dv (x)，DT (x)，Dw (x)) (1-18)
其中，p(x)是个综合因素，包含了来料横截面几何形状的影响，它和Dw(x)是要控制的干扰量；DT(x)有时是干扰量，但对轧辊分段冷却技术它却是和F及Dv(x)同样重要的调控板形的控制量。各轧辊的初始辊形也由DV(x)综合反映。
式(1-18)即是以gf(x)表示的板形方程。一般在B范围内近似hf(x)＝gf(x)，将式(1-18)代入式(1-12)可得以纤维相对长度差?w(x)表示的板形方程，再代入式(1-13)就可得到以板形检测应力?f (x)表示的板形方程。板形方程和板形良好准则构成板形控制的理论基础。
如果能从理论上建立以上各板形方程的确定明了的函数关系表达式，那么就可以据此实现对板形的精确预测和控制。但是目前解析法还不能推导出式(1-18)表达式，只能利用计算机数值计算方法结合实验，给出在各种轧制条件及轧件规格下的板宽范围内的一组辊缝形状离散值gf(i) (i=1，…m)。而横截面几何形状变化与平坦度的转化关系函数?(x)的求解难度更大，因此一般都简化为简单的甚至线性的关系
?i = ? (CWi) (i=1，2，4) (1-19)
其中二次凸度与二次板形平坦度缺陷的变化量的相互关系，在理论上（不考虑宽度变化及金属横向流动）由轧制中体积不变假设得出
??2?100h1??CW2 (1-20)
式中 h1——轧机出口侧轧件厚度，mm；
??2——二次板形平坦度缺陷变化量，I-unit； ?CW2——二次凸度变化量，?m。
为了能够使式(1-20)用于板形控制实际，许多学者都通过实测研究对其做修正
??2??1h1??CW2 (1-21)
并发现修正系数?和理论结果相差较大。韩国学者研究冷连轧中从来料到成品的二次凸度变化对成品平坦度的影响，得到?=2.1653 (对薄料)，0.6645 (对厚料)。