19.（本题满分12分）已知函数f(x)?2sin2(x?3?)?3sin(??2x) 2（1）若x?[0,?2]，求f(x)的取值范围；（2）求函数y?log1f(x)的单调增区间.
2[解析]f(x)?2cos2x?3sin2x?cos2x?3sin2x?1?2sin(2x?)?16
?1????7???sin(2x?)?1x?[0,]?2x??62时，666，故2（1）当
0?2sin(2x?)?1?36则f(x)的取值范围是[0,3].
???sin(2x?)?0??6（2）由题意有?
??3???2k??2x???2k?,k?Z?62?2解得函数y?log1f(x)的单调增区间为[2?6?k?,5??k?],k?Z 1220.（本题满分12分）已知a,b是两个不共线的向量，且a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?) （1）求证：a?b与a?b垂直； （2）若??(???,)，??且|a?b|?444?16，求sin?. 5[解析]（1）证明：a,b是两个不共线的向量，则a?b与a?b为非零向量
a?b?(cos??cos?,sin??sin?)，a?b?(cos??cos?,sin??sin?)
a?b?(cos2??cos2?)?(sin2??sin2?)?(cos2??sin2?)?(cos2??sin2?)?0
所以a?b与a?b垂直
22（2）|a?b|?(cos??cos?)?(sin??sin?)?2?2(cos?cos??sin?sin?)
2 ?2?2cos(???) 则2?2cos(???)?16??3??cos(??)?，又所以
5445?4????sin(??)????(?,)???(?,0)又，所以于是
454442??????42322sin??sin[(??)?]?sin(??)cos?cos(??)sin?????故
444444525210
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sin???2 1021.（本题满分12分）函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)>0;②对任意
1x,y?R,有f(xy)?[f(x)]y;③f()?1.
3（1）求证: f(x)在R上是单调增函数;
（2）若f(4x?a?2x?1?a2?2)?1对任意x?R恒成立，求实数a的取值范围.
x【解析】（1）证明：由题可知f()?1，故y?[f()]为增函数
1313对任意x1,x2?R且x1?x2，有3x1?3x2则[f()]133x11?[f()]3x2
311f(x1)?f(x2)?f(?3x1)?f(?3x2)
3311?[f()]3x1?[f()]3x2 33?0故 f(x)在R上是单调增函数;
（2）f(xy)?[f(x)]y中令x?0,y?2有f(0)?[f(0)]2，对任意x?R,有f(x)>0 故f(0)?1
f(4x?a?2x?1?a2?2)?1即f(4x?a?2x?1?a2?2)?f(0)，由（1）有f(x)在R上是单调增函数，即：
4x?a?2x?1?a2?2?0任意x?R恒成立
令2x?t,t?0则t?2at?a?2?0在(0,??)上恒成立） i）??0即4a2?4(2?a2)?0得?1?a?1
22???0?ii）??a?0得1?a?2
??a2?2?0?综上可知?1?a?2
22.（本题满分12分）若在定义域内存在实数x0使得f(x0?1)?f(x0)?f(1)成立则称函数f(x)有“溜点x0”
（1）若函数f(x)?()?mx在(0,1)上有“溜点”，求实数m的取值范围；
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12x2（2）若函数f(x)?lg(
a)在(0,1)上有“溜点”，求实数a的取值范围. x2?1x2【解析】（1）f(x)?()?mx在(0,1)上有“溜点” 即f(x?1)?f(x)?f(1)在(0,1)上有解，
1211?m(x?1)2?()x?mx2??m在(0,1)上有解
221x整理得4mx?1?()在(0,1)上有解
21x从而h(x)?4mx?1与g(x)?()的图象在(0,1)上有交点
213故h(1)?g(1)，即4m?1?，得m?
28即()x?112（2）由题已知a?0，且lg[aaa]?lg()?lg()在(0,1)上有解 22(x?1)?1x?122(x2?1)2(x2?1)2x?1整理得a?2，又2?2(1?2)
x?2x??2x?2x?2x?2x?22x?1，令t?2x?1，由x?(0,1)则t?(1,3)
x2?2x?24t4于是y?2?t?2t?5t?5?2t
设y?512x?15?125?2?t??2?8则?2 ?t2x?2x?222(x2?1)从而3?5?2?1x?2x?2
故实数a的取值范围是[3?5,1)
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