概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070
摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.
关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数
Abstract: The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the average
convergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred between
Key words: indicator function probability random variable convergence distribution function
首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。所以首先需要建立必要的概率不等式。我们以I(A)表示事件A的示性函数，即有
?1,??A;I(A)???0,??A.
那么，显然当A?B时，有I(A)?I(B).，并且有P(A)?EI(A).
定理 1 （Chebyshev不等式）设g(x)是定义在 ?0,?? 上的非降的非负值函数，如果对随机变量?，有Eg(?)??，那么对任何使得g(a)?0的a?0，我们都有
P(??a)?证明：首先，由g(x)的非降性知 ???a???g????g?a??. 因此
I???a??I?g????g?a???g??Eg(?)g(a).
?g?a?I?g????g?a??.
其中I(A)是事件A的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件?g????g?a??上面有
g???g?a??1由上述不等式立得
?g????Eg???P???a??EI???a??EI?g????g?a???E?I?g????g?a????.
g?a??g?a??
Chebyshev不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其
提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.
定义 1 已知随机变量序列{?n,n?N}与随机变量?.如果对???0，都有
limP(|?n??|??)?0.
n?? 那
么我们就称随机变量序列{?n,n?N}依概率收敛到随机变量?，记为
?n????
P 其实,依概率收敛的本质是?n对?的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于
limP(?n????)?1.
n??特别当?为退化分布时,即P???c??1,则称序列??n?依概率收敛于c,即
?n???c.
P 下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.
定义2 如果??,?n;n?0?是Lr中的随机变量, 其中r?0,Lr??E?并且
E?n???0, ?n???.
L?当则称随机变量序列??n,n?N?依r阶平均收敛到随机变量?,记作?n???r?r??,
????. r?1时简称为依平均收敛，并记为?n?L
在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:
定理 2 r阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为limE?n??n??r?0r,故对???0,?N,当n?N时,有
E?n???a? .
E?n??arrr又由Chebyshev不等式知对任何a?0，有P??n???a??，故
P??n???a???，因此limP??n???a??0.
n?? 但是,反之不真.反例如下:
例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ???0,1? , F?B??0.1? , P?L. 令?????0, ????0,1?, 而
易知,对任何??0,当n??时,都有 P??n??????P??n?0??P所以?n????;但是
2n?0,
E?n???E?n?1, 所以?n不依平均收敛到?.
在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.
定义3 设?Fn(x),n?N?是一列定义在R上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数F(x).使得
limFn(x)?F(x),?x?C(F),
n?????F(x,)并称F(x)是?Fn(x)?的弱极限。 则称?Fn(x)?弱收敛到F(x)记为Fn(x)? 大家注意我们在这里没有使用“分布函数”这个名词。是因为:
分布函数列的弱极限不一定是分布函数。 反例如下:
?0,x??n;??x?n设Fn(x)??,?n?x?n;
2n???1,x?n.12.例2 ，?n?N;F(x)?
???F(x),但是F?x?却不是分布函数. 显然?Fn(x)?是分布函数序列，并且Fn(x)?通过上述两点讨论,我们明确了依分布收敛的含义,从而可以给出如下定义: 定义4 如果?Fn(x),n?N?是一列分布函数，并且存在分布函数F(x)，使得
Fn(x)???F(x)Fn(x)???F(x)dw，那么我们就称?Fn(x)?依分布收敛到F(x)，记为。如果?Fn(x),n?N?是随机变量序列??n,n?N?的分布函数序
d列，而F?x?是随机变量?的分布函数，则当Fn???F(x)时，称依分布收敛?，
d并记为?n????.
应当注意,依分布收敛只是随即变量的分布函数列之间的收敛关系,它们不能反映随即变量自身间的极限关系,此外,我们还有以下结论: 定理3 依概率收敛蕴涵依分布收敛.
证明:设?n与?的分布函数分别为Fn?x?和F?x?.易知,对任何y?x,有
???y?????y,?n?x?????y,?n?x????n?x????n???x?y?,
所以
F?y??Fn?x??P??n???x?y?,
P???推知 从而可由?n? F?y??liminfFn?x?.
n??同理,对任何z?x,有
limsupFn?x??F?z?.
n??如果x?C?F?,联立上述二式,并且令y?x,z?x,那么就有 F?x??liminfFn?x??limsupFn?x??F?x?.
n??n??所以
limFn?x??F(x), ?x?C?F?,
n??d???. 即?n?但是,反过来,我们却有:依分布收敛不蕴涵依概率收敛. 反例如下:
例3 设??,F,P?为古典型概率空间,其中????1,?2?,
?0,???1,?n????? ?n?N; ?????1,???,2?12?1,???1, ?0,???.2?那么?n和?都服从参数为的Bernoulli分布,所以Fn?x??F?x?,当然有
Fn?x????F?x?,亦即?n????dd.但是我们有
?n?w???????1, ????, ?n?N,
亦即对任何0???1,都有
P??n??????1, ?n?N,
所以?不依概率收敛于?.
n 但当我们以表示退化于的随机变量时,在依分布收敛与依概率收敛之间却有如下特殊的关系:
dp 定理4 ?n???c等价于?n???c.
pd证明:由定理3知?n???c蕴含?n???c,所以只需证明反过来的蕴含关系.注意
d退化于德随机变量的分布函数为它只有一个不连续点x?c,所以当?n???c时,
有
limFn?x???n???0,x?c;?1,x?c.
故而对任何??0当n??时,有
P??n?c????P??n?c????P??n?c????1?Fn?c????Fn?c???0??0,
p??c. 即有?n?接下来,让我们再介绍概率极限理论中一种重要的收敛,就是几乎必然收敛. 定义5 设随机变量?和随机变量序列??n,n?N?定义在同一个概率空间
??,F,P?上，如果
P?|lim?n(?)??(?)?1,
????（1）
就说??n? a.s.收敛到?，记为?n??a.s.
由于对固定的?来说，??n(?)?就是数列，因此所谓lim?n(?)??(?)，就是对
n??任何??0，都存在k?N，使得只要n?k，就有
?n?????(?)??。
因此，我们可以用事件的语言把（1）表示为
???????????P?(?????)?P??(?)??(?)??nn???????????1,
???0k?1n?k????0k?1n?k??? （2）
（2）中的?不是可列交，但是可以将其改写为如下的等价形式：
??0
????1?P?(????)?n??????1. m??m?1k?0n?k (3)