运用对偶原理,可知(3)等价于
????1?P?(????)?n??????0. m??m?1k?0n?k (4)
显然,(4)成立,当且仅当
???1?P?(????)?n?????0, ?m?N. m?k?1n?k? (5)
而(5)成立,当且仅当 注意到
??????P?(?????)n?????0, ???0.
?k?1n?k? (6)
?(?n?kn????), k?N
是下降的事件序列,所以由概率的上连续性知,(6)等价于
????limP?(?????)n????0, n???n?k? ???0. (7)
总结上述讨论,我们得到:
定理5 如果随机变量和随机变量序列定义在同一个概率空间上,则得充分必要条件是(7)成立.
由定理5可以立即得到:
p???. 定理6 如果?n??a.s.,则必有?n? 证明：由于?n??a.s.故由(7)得，对?a?0，对???0，存在K，当
k?K时，有
??????P?????a??n????n?k? 又因为
，
??n???a??故
P??n???n?k?n???a?,
?????????a??P?????an??????n?k?,
p???. 因此,由依概率收敛的定义知?n?对于Lr收敛与a.s.收敛,我们有:
定理 7 Lr收敛与a.s.收敛互不蕴涵.
我们来看例中的随机变量序列??n,n?N?与??0,不难证明有
lim?n????0??n??，????，
因此?n??a.s.,但是我们已经证明?n不依平均收敛于?,故a.s.收敛不蕴含Lr收敛. 反过来的例子如下：
例4 仍将??,F,p?取为区间?0,1?上的几何概型空间，定义? ?nm?n?2mn?1?2?I????mm?2?2?0，令
??, 2m?n?2m?1, ?m?N . ??r不难看出，对任何r?0，都有E?n???E?nrr?故?n????0，
L.但是,只要?不是有理数,那么都有无限多个n使得?n????1,故?n不a.s.收敛于?. 另外,由a.s.收敛我们还可引入另一种收敛,即完全收敛. 定义 6 设是??n?随机变量序列,?是随机变量.如果对任一??0,有
?P??n?1?n???????,
那么就称随机变量序列??n?完全收敛于随即变量?.
显然完全收敛蕴涵a.s.收敛.
因为事件序列的无穷多次发生和随机变量的a.s.收敛之间有着密切的关系,所以接下来我们介绍无穷次发生的概念以及它与a.s.收敛的关系.
定义7 设?An,n?N?是概率空间??,F,P?中的一列事件,如果存在无穷多个n,使得??An,我们就称事件序列?An?无穷多次发生,记作?An,i.o.?.
上述定义中的i.o.是英语词汇infinitely often的缩写.关于事件序列的无穷多次发生,我们有:
定理8 如果?An,n?N?是概率空间??,F,P?中的一列事件,则
?An,i.o.????An.
k?1n?k??证明:易知,???An,i.o.??存在无穷多个n，使得??An?对任何k?N，存
??在n?N，使得??An?????An.
k?1n?k运用上述概念与前面的讨论,我们可得:
定理9 设??n,n?N?为一列随机变量,?为随机变量.则?na.s.收敛于?的充分必要条件是对???0,有P??n????,i.o.??0.
????证明:因为?n??a.s.?limP?(?????)n????0,???0.?n???n?k?
?????P????(?n????)???0, ???0.(因?(?n????),k?N?k?1n?k?n?k是下降的事件序列,所
以由概率的上连续性可知)? P??n????,i.o.??0,???0.
综上所述,我们可知随机变量序列中以上几种收敛之间有着如下关系: 1. Lr收敛与a.s.收敛互不蕴涵;
2. Lr收敛与a.s.收敛都蕴涵依概率收敛;但依概率收敛不蕴涵Lr收敛和a.s.收敛;
3. 依概率收敛蕴涵依分布收敛;但依分布收敛不蕴涵依概率收敛;
pd??C??n???C; 4. 对于退化的随机变量,有?n?5. 完全收敛蕴涵a.s.收敛;但a.s.收敛不蕴涵完全收敛;
6. 对于事件序列的无穷次发生和收敛,有
?n??a.s.?P??n????,i.o.??0,???0.
参考文献:
[1] 林正炎,陆传荣等.概率极限理论基础.北京:高等教育出版社,1999 [2] 林正炎,白志东等.概率不等式.北京:科学出版社,2006
[3] [苏]B.B.佩特罗夫著,苏淳译.独立随机变量之和的极限定理.安徽:中国科学技术大学出版社,1987
[4] 胡迪鹤.分析概率论.北京:科学出版社,1997