2.1.2 指数函数及其性质
1．指数函数的概念
(1)定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．
(2)指数函数的特征：
系数：1??底数：常数，且是不等于1的正实数特征?指数：仅是自变量x
??定义域：R
例如函数y＝－3×4x和y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y
＝kax(k?R，且k≠0，a＞0，且a≠1)称为指数型函数．
释疑点 指数函数的概念中为什么要规定a＞0，且a≠1? (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(2)若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝
11，x＝，…，42在实数范围内函数值不存在．
(3)若a＝1，则对于任何x?R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．在规定以后，对于任何x?R，ax
都有意义，且ax＞0．
【例1－1】函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( ) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3
D．a＞0且a≠1
?(a?2)2?1,解析：由指数函数定义知?所以解得a＝3．
a?0,且a?1,?答案：C
【例1－2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
??π?xx
3①y＝2·(2)；②y＝2；③y＝??；④y＝x；⑤y＝x；⑥y＝x3．
?2?x11x－1
解析：
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 是否 否 否 是 否 否 否 理由 (2)x的系数不是1 －2x1的指数不是自变量x 满足指数函数的概念 底数是x，不是常数 指数不是自变量x 底数不是常数且指数不是自变量x 答案：③
2．指数函数的图象与性质
(1)指数函数的图象与性质对应关系如下： 图象特征 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质 ①图象都位于x轴上方 ①自变量x取任何实数时，都有ax＞0 ②函数图象都过定点(0,1) ②无论底数a取任何正数，都有a0＝1
③a＞1时， ③当a＞1时，图象在第一象限内纵坐标都大于1；在第二象限内纵坐标都大于0小于1．而当0＜a＜1时图象正好相反． x??若x?0，则a?1, ?x??若x?0，则0?a?1.当0＜a＜1时， x??若x?0，则0?a?1, ?x??若x?0，则a?1.④自左向右看，a＞1时图象呈上④当a＞1时，y＝ax是增函数；当0＜a＜1升趋势；当0＜a＜1时，图象呈时，y＝ax是减函数． 下降趋势． (2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质． a＞1 0＜a＜1 图象 性 质 ①定义域R，值域(0，＋∞) ②图象都过点(0,1) ③当x＞0时，y＞1；当x＜0时，③当x＞0时，0＜y＜1；当x0＜y＜1 ＜0时，y＞1 ④在R上是增函数 ④在R上是减函数 对1?x称 指数函数y＝ax和y＝??a?(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称 性 点技巧 指数函数性质记忆口诀 指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点．
【例2－1】函数y＝(3－1)x在R上是( ) A．增函数 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数
解析：由于0＜3－1＜1，所以函数y＝(3－1)x在R上是减函数． 因为f(－1)＝(3－1)1＝－
3?1，f(1)＝3－1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，2所以函数y＝(3－1)x不具有奇偶性．
答案：D
【例2－2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．
(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．
答案：B
析规律 底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．
3．指数型函数模型 (1)指数增长模型
设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y， 则y＝N(1＋p)x(x?N)． (2)指数减少模型
设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y， 则y＝N(1－p)x(x?N)． (3)指数型函数 形如y＝k·ax(k?R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数．
【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．
分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．
解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg． 1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，
则人均一年占有粮食为
360M(1?4%)kg，
M(1?1.2%)360M(1?4%)22年后，人均一年占有粮食为kg，
M(1?1.2%)2……
360M(1?4%)xx年后，人均一年占有粮食为y＝kg，
M(1?1.2%)x?1.04?*
即所求函数解析式为y?360??(x?N)．
?1.012?点技巧 指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数
x
为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)来表示．这是非常
x有用的函数模型．
4．利用待定系数法求指数函数的解析式
已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式．
在指数函数的概念中，只有形如y＝ax(a＞0，且a≠1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，而不是其他形式．同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式．
例如：若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)． 解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
因为函数f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)． 故f(x)＝3x．
【例4－1】指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，e)，则f(－π)＝__________． 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
∵y＝f(x)的图象过点(π，e)，∴aπ＝e．∴a＝πe．∴f(x)＝(πe)x． ∴f(－π)＝(πe)π＝e1＝
－
－
1． e答案：
1 e【例4－2】已知指数函数f(x)的图象经过点??2,??1??，试求f(－1)和f(3)． 16?分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出． 解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
11?－2
，∴a＝，解得a＝±4． ?1616?1－
又a＞0，则a＝4，∴f(x)＝4x．∴f(－1)＝41＝，f(3)＝43＝64．
4∵函数f(x)的图象经过点??2,??点技巧 关于a的方程am＝n的解法 方法一：可以先把n化为以m为指数的指数幂的形式n＝k，即a＝k，则可得a＝k．方法二：由a＝n得到(a)?n，即a?n，再利用指数幂的运算性质化简n．
5．与指数函数有关的定义域、值域问题
指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数．与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下：
(1)求定义域的方法
①函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同．
②函数y＝f(ax)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，而函数f(x)＝ax的定义域则为R．求函数y＝f(ax)的定义域时，可由函数f(x)的定义域与g(x)＝ax的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解．
(2)求值域的方法
①求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝af(x)的值域．
②求函数y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围．
【例5－1】求下列函数的定义域和值域：
1mmmmm
1mm1m1m(1)y?1?2x；(2)y??解：(1)∵由1－2x≥0可得2x≤1，∴x≤0． ∴函数y?1?2x的定义域为x?(－∞，0]． 由0＜2x≤1可得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1． ∴函数y?1?2x的值域为y?[0,1)． (2)定义域为R．
?1???2?x2?2x?3．
?1?∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴???2?又∵?x2?2x?3?1?≤??＝16． ?2??4?1???2?x2?2x?3＞0，∴函数y???1???2?x2?2x?3的值域为(0,16]．
1x?1【例5－2】求下列函数的值域：(1)y?511x?1解：(1)∵≠0，∴5≠1．
x?12x?1；(2)y?x．
2?1∴函数y＝51x?1的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
2x?12x?1?22??1?(2)y?x， 2?12x?12x?112∵2x＞0，∴2x＋1＞1．∴0＜x＜1，－2＜－x＜0．
2?12?122x?1∴－1＜1－x＜1．故函数y?x的值域为{y|－1＜y＜1}．
2?12?16．指数函数的图象及定点问题
(1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)过定点(0,1)，即对任意的a＞0，且a≠1，都有a0＝1．这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键．
一般地，对于函数y＝kaf(x)＋b(k≠0)，可令f(x)＝0，解方程得x＝m，则该函数的图象恒过定点(m，k＋b)．方程f(x)＝0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数．
(2)指数函数的图象变换的问题
根据函数图象的变换规律，有以下结论：
＋
①函数y＝axb(a＞0，且a≠1)的图象，可由指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象向左(b＞0)或向右(b＜0)平移|b|个单位长度而得到；
②函数y＝ax＋b的图象，可由指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度而得到；
－
③函数y＝ax的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y
－
＝ax的图象关于x轴对称；函数y＝－ax的图象与函数y＝ax的图象关于原点轴对称；函数y＝a|x|的图象，关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象相同；当x＜0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．
－
【例6－1】若函数f(x)＝2ax1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．
解析：令x－1＝0，解得x＝1，所以f(1)＝5．
－
所以函数f(x)＝2ax1＋3的图象恒过定点(1,5)． 答案：(1,5)