?1??1?【例6－2】(1)为了得到函数y＝3×??的图象，可以把函数y＝??的图象( )
?3??3?A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
(2)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0 (3)方程2|x|＋x＝2的实根的个数为__________．
xx?1??1?解析：(1)本题考查函数图象的平移．y＝3·??＝???3??3?xx?1?1?，则只需把函数y＝??的
?3?x图象向右平移1个单位长度．故选D．
(2)本题考查函数图象的性质．函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax
的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a?(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b－1＜－1?b＜0．故选C．
(3)由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x．在同一坐标系中作出函数y＝2|x|与y＝2－x的图象(如图)，可观察到两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根，应填2．
答案：(1)D (2)C (3)2 7．幂的大小比较问题
两个指数幂的大小的比较有以下几种情况：
(1)底数相同，指数不同．比较同底数(是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的单调性判断大小．当底数中含有字母时要注意分底数大于0小于1和底数大于1两种情况讨论．
(2)底数不同，指数相同．若幂式的底数不同而指数相同时，可以利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系内画出各个函数的图象，依据指数函数的图象随底数的变化规律，观察指数所取值对应的函数值即可．
(3)底数不同，指数也不同．幂式的底数不同且指数也不同时，则需要引入中间量．这个中间量可以是1，其中一个大于1，另一个小于1；也可以是一个幂式，这个幂式可以以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数，比如ac与bd，可以取ad为中介，前者比较用单调性，后者用图象．
【例7－1】比较下列各题中两个值的大小：
?5?(1)???7??1.8?5?，???7??2.5?2?；(2)???3??0.5?3?，???4??0.5；(3)0.70.8,0.80.7．
分析：(1)中两个指数式的底数同、指数不同，可直接应用指数函数的单调性判断；(2)中两个指数式的底数不同、指数同，可构造函数，根据函数的图象观察；(3)中两个指数式的底数、指数均不同，因而要引入中间数进行比较，并结合函数的图象观察．
5?5?解：(1)因为0＜＜1，所以函数y＝??在定义域内单调递减．
7?7?
x?5?又－1.8＞－2.5，所以???7?x?1.8?5?
x?2??3?(2)作出指数函数y???与y???的图象，如图所示．
?3??4?
当x＝－0.5时，由图象观察可得??2???3??0.5＞??3???4??0.5．
(3)因为0＜0.7＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.7x与y＝0.8x在定义域R上是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.7x的图象在函数y＝0.8x的图象的下方，所以0.70.7＜0.80.7．根据指数函数的性质可得0.70.8＜0.70.7，所以0.70.8＜0.80.7．
【例7－2】试比较a1.3与a2.5(a＞0，且a≠1)的大小． 解：(1)a＞1时，y＝ax为R上的增函数，故有a1.3＜a2.5； (2)当0＜a＜1时，y＝ax为R上的减函数，故有a1.3＞a2.5． 因此，当a＞1时，a2.5＞a1.3；当0＜a＜1时，a2.5＜a1.3． 8．指数方程、指数不等式的求解问题
根据指数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有： ①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)；
②当a＞1时，af(x)＞ag(x)?f(x)＞g(x)； 当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)?f(x)＜g(x)．
注意：利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数．
例如，(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； (2)已知0.2x＜25，求实数x的取值范围．
解：(1)因为3＞1，所以指数函数f(x)＝3x在R上是增函数． 由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0＜0.2＜1，
所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
所以0.2x＜0.22．
由此可得x＞－2，即x的取值范围为(－2，＋∞)．
－－
【例8－1】设232x＜0.53x4，则x的取值范围是__________．
－－
解析：原不等式可变形为232x＜243x， ∵函数y＝2x为R上的增函数，
∴原不等式等价于3－2x＜4－3x，解得x＜1． 答案：(－∞，1)
＋－
【例8－2】设y1＝a3x1，y2＝a2x，其中a＞0，且a≠1，试确定x为何值时，有：(1)y1
＝y2；
(2)y1＞y2．
分析：指数函数的单调性取决于底数a，当底数a不确定时，要注意分情况讨论．
＋－
解：(1)由a3x1＝a2x，得3x＋1＝－2x．
－
?1?－
因为25＝??＝0.22，
?5??2
解得x??，所以当x??时，y1＝y2． (2)当a＞1时，y＝ax(a＞0，且a≠1)为增函数． 由a3x1＞a
＋
－2x
1515，得3x＋1＞－2x，解得x＞?当0＜a＜1时，y＝ax(a＞0，且a≠1)为减函数， 由a3x1＞a
＋
－2x
1． 51． 5，得3x＋1＜－2x，解得x＜?所以，若a＞1，则当x＞?若0＜a＜1，则当x＜?1时，y1＞y2； 51时，y1＞y2． 5点技巧 指数不等式的求解技巧 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如af(x)＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
9．指数函数与二次函数的综合问题
指数函数与二次函数的综合问题是常见题型，这类问题的处理方法是利用换元法令t＝ax，然后利用定义域和指数函数y＝ax的单调性求出t的范围，这就转化为纯粹的二次函数问题了．
例如：求函数y＝4解：y＝4
x?12
x?12
－3·2x＋5，x?[0,2]的值域．
－3·2x＋5＝
1x2
(2)－3·2x＋5，令t＝2x， 2∵x?[0,2]， ∴1≤t≤4．
1211t－3t＋5＝(t－3)2＋． 22215∴当t＝3时，函数y取得最小值，当t＝1时，函数y取得最大值，即函数的值域
22?15?是?,?． ?22?∴y＝
【例9】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，试求a的值．
解：设t＝ax，则t＞0，原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其图象的对称轴为t＝－1．
(1)若a＞1，∵x?[－1,1]，∴t??,a?，则函数y＝(t＋1)2－2在区间?,a?上单调递
aa增，
∴当t＝a时，函数y取得最大值(a＋1)2－2，即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．
(1)若0＜a＜1，∵x?[－1,1]，∴t??a,?，则函数y＝(t＋1)2－2在区间?a,?上单调
aa?1????1?????1????1??递增，
11?1??1?∴当t?时，函数y取得最大值??1??2，即??1?－2＝14，解得a?或
3a?a??a?22
1a??(舍去)．
5综上可知，a的值为3或
1． 3辨误区 换元时易出现的错误 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错．
10．与指数函数有关的函数的奇偶性综合问题 判断与指数函数有关的函数的奇偶性步骤是：
(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；
(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数； (3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．
【例10】已知函数f(x)?11?． 2x?12(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性．
分析：(1)根据求函数定义域的方法求解；(2)利用函数奇偶性的定义来判断． 解：(1)由2x－1≠0，得2x≠1，即x≠0，
因此函数f(x)的定义域为(－∞，0)?(0，＋∞)．
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)?(0，＋∞)，关于坐标原点对称，
112x12x?1?11111??1又f(－x)＝?x???????1??????x?2?121?2x21?2x22x?12?2?12?＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
11．与指数函数有关的函数的单调性问题
(1)指数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小．与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数单调性判断或证明函数的单调性，其步骤是：(在第一章已经学习)
①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2； ②比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号．常见的变形手段是：通分、分解因式、配方、有理化等，常见的变形结果有：常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等．掌握比较法要做适当的练习，还要注意经验的积累；
③归纳结论．
(2)对于形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)型的函数的单调性，通常要依据底数a的取值进行分类讨论：
①当a＞1时，函数y＝af(x)的单调性与函数y＝f(x)的单调性相同． ②当0＜a＜1时，函数y＝af(x)的单调性与函数y＝f(x)的单调性相反．
______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 【例11－1】设a是实数，f(x)＝a－证明：设x1，x2?R，且x1＜x2，
2
(x?R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数． x
2?1