解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法
此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是： ① 轨迹圆的缩放：
当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.
例1 一个质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），从O点处沿+y方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当B满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当B满足条件_________时，粒子将从下边界射出：
例2 如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？
【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。
【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则
图9-8 图9-9 图9-10 相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相
交于O/即为该临界轨迹的圆心。
0临界半径R0由0 有:
故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0
R?RCosθ?dR0?d1?Cos?；
R?即:
mv0dqBd?v0?qB1?Cos? 有: m(1?Cos?) 。
1
由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；
又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，
且由图知:
PG?R0Sin??dcot??dSin??dcot?1?Cos?。
例3 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为
b B的匀强磁场，在ad边中点O，方向a 垂直磁场向里射入一速度方向跟ad× × × × 边夹角θ = 30°、大小为v0的带正电
× × × × 粒子，已知粒子质量为m，电量为q，O θ ad边长为L，ab边足够长，粒子重力
v0 × × × × 不计，
c 求：（1）粒子能从ab边上射出磁场d 的v0大小范围.
（2）如果带电粒子不受上述v0大小
范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.
mv0v0mR， 所以有R =qB， 解析：（1）若粒子速度为v0，则qv0B =
2设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则R1＋R1sinθ =
L， 2将R1 =
mv01qBL代入上式可得，v01 =
3mqBL， 2类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2－R2sinθ =
将R2 =
mv02qBL代入上式可得，v02 =
mqBqBLqBL＜v0≤ 3mm所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足
（2）由t =
?2? m可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在T及T =
2?qB磁场中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所
对圆心角为（2π－2θ），
所以最长时间为t =
(2??2?)m5? m=
qBqB 2
例4 如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？
解析：（1）带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得
当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径R2满足，即
R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得
电子速率v的取值范围为：。
例5、在边长为2a的?ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距Ａ点3a的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
解析：如图６所示，设粒子速率为v1时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．
由图知，在?AO1E中，O1E?R1，O1A?3a?R1，由
?C????A??D图5
Bcos300?O1EO1A得
3?2R13a?R1C，解得R1?3(2?3)a，则
?E?OA3a?R1AE?1??(23?3)a．
22A1R???1??o1D图6
?vBBqR13(2?3)aqBv又由Bqv1?m1得v1?，则要粒子能?mmR1从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于v1．
2G?C??Ao?2?R2?3 ??Fv2B图7 D
如图７所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则R2?AD?AG?3a．
v3aqB又由Bqv2?m2得v2?，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于
mR2等于v2．
2综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足
3(2?3)aqB3aqB． ?v?mm粒子从距Ａ点(23?3)a~3a的EG间射出．
★★★ 带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，
因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。
② 轨迹圆的旋转：
当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向
入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转中，也容易发现“临界点”.
例6 一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域. 不计重力，不计粒子间的相互影响. 下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的图是 （ A ）
例7 在y>0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于图中的Oxy平面，方向指向纸外，原点O处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价正离子，对于速度在Oxy平面内的离子，它们在磁场中做圆弧运动的圆心所在的轨迹，可用下面给出的四个半圆中的一个来表示，其中 正确的是（ A ）
4
y y y y O A x O B x O C x O D x
例8 如图，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速率都为v。对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大x＝________________，最大y＝________________
例9 图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外是MN上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为＋q、质量为m 、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射人的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的距离为L不计重力及粒子间的相互作用
(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径 (2)求这两个粒子从O点射人磁场的时间间隔
解析：设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有 （1）
得
（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，圆心和直径分别为O1、O2和OO1Q1、OO2Q2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知：
到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长
=Rθ
从O点射入
=Rθ 粒子2的路程为半个圆周减弧长
粒子1运动的时间：
粒子2运动的时间：
5