两粒子射入的时间间隔：
因 得
可解得：
y例10 如图1，半径为r?10cm的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感强度B?0.332T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为
v?3.2?106m/s的粒子．已知?粒子质量
?s???o????图1 xm?6.64?10?27kg，电量q?3.2?10?19C，试画出?粒子通
过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出?粒子通过磁场空间的最大偏角．
解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R，由
yo??Av2Bqv?m 得
Rso图2 xmv6.64?10?27?3.2?106R??m?0.20m?20cm ?19Bq0.332?3.2?10虽然?粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此?粒子作圆周
运动的圆心必落在以O为圆心，半径R?20cm的圆周上，如图２中虚线．
由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R一定的条件下，为使?粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即?粒子应从磁场圆直径的A端射出．
如图２，作出磁偏转角?及对应轨道圆心O?，据几何关系得sin?2?r1?，得R2??600，即?粒子穿过磁场空间的最大偏转角为600．
例11 如图8所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度
6
都是v=3．0×10m/s，已知α粒子的电荷与质量之比
6
q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的
长度。
解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有qvB=mv/R，
由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10cm。
2
y/cm?????op????图14
??????x/cm??
可见，2R>l>R，如图9所示，因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为定出
P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。
再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。
由图中几何关系得
所求长度为 P1P2=NP1+NP2，
代入数值得 P1P2=20cm。
点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。
例12 如图14所示，在真空中坐标xoy平面的x?0区域内，有磁感强度B?1.0?10T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p(10,0)点，有一放射源，在xoy平面内向
7
?2，
，
各个方向发射速率v?1.0?10m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m?1.6?10?25kg，电量为q?1.6?10?18C，求带电粒子能打到y轴上的范围．
4v2解析：带电粒子在磁场中运动时有Bqv?m，则
Ry/cm?A????R?mv1.6?10?1.0?10??0.1m?10cm． Bq1.0?10?2?1.6?10?18如图１５所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆
?254x/cm?????轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点．因Op?R?10cm，B????????o????????p?AP?2R?20cm，则OA?AP?OP?103cm．
22图15 当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得OB?R?10cm．
综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：?10cm?y?103cm．
小结：
1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.
解决这类问题的切入点是：定圆心；求半径；画轨迹；找圆心角。 2.同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹 速度大小不同，
速度大小相同，方向相同。 方向沿各方向。 3.注意圆周运动中的有关对称规律: (1) 在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出. (2) 粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角; 针对性训练:
1、 如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d?1.0?10m，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在0~3.2?10m/s范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B?9.1?10T，
?37?2 8
B
Q???19???????已知电子的质量m?9.1?10?31kg，电子电量e?1.6?10C，不
A计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：
（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．
（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中?角表示）与电子速度的大小v之间应满足的关系及各自相应的取值范围．
解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由
BQMN2图11 PBev?mmvmv可得rm?，代入数据解得rm?2?10?2m?2d．
Ber?d????APF?H?该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着
图12 电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点
最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．
在?ＭＦＨ中，有FH?HM?MF?(2d)?d22223d，
BQQM?PF?(2?3)d?2.68?10?3m/s， QN?d?1?10?2m，PH?2d?2?10?2m．
?3?2????o??v???r?A图13
P电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距2.68?10m~1?10m的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距0~2?10m的范围．
（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有r?解得vsin??8?10．
6?2mvd，rsin??． Be2v取最大速度3.2?107m/s时，有sin??有?max?11，?min?arcsin；v取最小速度时44?2，vmin?8?10m/s．
66所以电子速度与?之间应满足vsin??8?10，且??[arcsin1?,]，42v?[8?106m/s,3.2?107m/s]
2、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径R1?0.6m、外径R2?1.2m的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比
9
图8
q?4.8?107c/kg，磁场的磁感应强度B?0.4T，不计带电粒子重力． m（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度v的大小与它在磁场中运动的轨道半径r有关，试导出v与r的关系式．
（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．
（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．
解析：（１）设氦核质量为m，电量为q，以速率v在磁感强度为B的匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式
Bqrv2和牛顿定律得Bqv?m，则v?．
mR（２）所求轨迹示意图如图９所示（要与外圆相切） （３）当氦核以vm的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以vm速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界，如图１０所示．
图9
R2?R1v2?0.3m，又由Bqv?m得由图知r??2rr?mv， Bq在速度为vm时不穿出磁场外界应满足的条件是
图10
mvm?r?， Bq则vm?Bqr??0.4?4.8?107?0.3?5.76?106m/s． m3、(14分)如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。 ⑴求匀强电场的电场强度E；
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？
10
x=－2l0 E A′ y v0 x=2l0 C O C′ x A vE 0
⑴ 从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得 x轴方向 2l0?v0T (1分) y轴方向 2l0? 得：E?1qET2()?2 (1分) 2m22mv0 （2分） ql01qE(?t)2 （1分） 2m⑵ 设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时△t，水平位移为△x，则 ?x?v0?t ?y?若满足2l0?n?2?x，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向 （2分）
11qEl021()?2l0 （2分） 2n2mv0n1即AC间y坐标为y??2l0 （n = 1，2，3，??） （1分）
n⑶ 当n=1时，粒子射出的坐标为y1?l0
1当n=2时，粒子射出的坐标为y2??l0
4解之得：?y?当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的距离为
L= y1－y2=l0 则磁场的最小半径为 R?54L5l0? （2分） 28若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），
2mv08mv0(轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形) 由qv0B? 得：B?
R5ql0（2分）
x=－2l0 E y A′ O2 O P x=2l0 Q O1 C A v0 E C′ x 11