2015年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 D 8 A 二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9．
2； 10． 18； 11．9； 12．46； 313．
2； 14．2； 15． 4． 2三、解答题 16．（本小题满分12分）
函数f(x)?2sin(?x? （1）求f(π)（??0）的最小正周期是π． 35π)的值； 12π3，且x0?(0,)，求f(x0)的值．
23 （2）若sinx0?解：（1）
f(x)的周期T?π，即
2π??π， ????????????????1分
????2，
由??0，得??2，即f(x)?2sin(2x?)． ??????????????3分
π3?f(5π7πππ)?2sin?2sin(?π)??2sin??1． ????????????5分 12666132得cos2x0?1?2sinx0?， ????????????7分
33（2）由sinx0? 2015年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 1 页 共 14页
又x0?(0,)，?2x0?(0,π)， ?????????????????8分 ? sin2x0?1?cos22x0?π222， ????????????????9分 3πππ2sin(2x0?)?2sin2x0cos?2cos2x0sin
333 ?2?2211322?3． ??2???32323π22?3． ????????????????12分 ?f(x0)?2sin(2x0?)?33【说明】 本小题主要考查了三角函数f(x)?Asin(?x??)的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．
17．（本小题满分12分）
空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：
城市 广州 深圳 佛山 AQI数值 118 94 160 城市 东莞 珠海 惠州 AQI数值 137 95 113 城市 中山 湛江 汕头 AQI数值 95 75 88 城市 江门 潮州 汕尾 AQI数值 78 94 74 城市 云浮 河源 阳江 AQI数值 76 124 112 城市 茂名 肇庆 韶关 AQI数值 107 48 68 城市 揭阳 清远 梅州 AQI数值 80 47 84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格： 空气质量 AQI值范围 城市个数 优质 [0,50) 良好 [50，100） 轻度污染 [100,150) 中度污染 [150,200) （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为?”，求?的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：
空气质量 AQI值范围 城市频数 优质 [0,50) 2 良好 [50，100） 12 轻度污染 [100,150) 6 中度污染 [150,200) 1 ?????????????2分 （2）按分层抽样的方法，
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12?6?4个， ????????????? 3分 12?66?6?2个， ???????????4分 从“轻度污染”类城市中抽取n2?12?6 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．
从“良好”类城市中抽取n1?根据题意?的所有可能取值为：1,2,3．
122130C4C21C4C23C4C21P(??1)?3?, P(??2)?3?，P(??3)??．???8分 3C65C65C65??的分布列为：
? P 所以E??1?1 2 3 1 51 53 5131?2??3??2． ??????????????????11分 555答：?的数学期望为2个． ???????????????????12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，
考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
18．（本小题满分14分）
在三棱锥P?ABC中，已知平面PBC?平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P?ABC的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．
（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P?ABC的直观图补充完整（其中点P 在
xOz平面内），并指出三棱锥P?ABC的哪些面是直角三角形；
（2）求二面角B?PA?C的正切值； （3）求点C到面PAB的距离．
z 23P y 4正视图 侧视图 O 图6 x 22
2015俯视图年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 3 页 共 14页 图5
解：（1）三棱锥P?ABC直观图如图1所示；
z 由三视图知?ABC和?PCA是直角三角形． ????????3分 （2）（法一）：如图2，过P作PH?BC交BC于点H， P y 由三视图知?PBC为等腰三角形，
BC?4，PH?23，
?PB?PC?BC?4，
取PC的中点E，过E作EF?PA且交PA 于点F，连接BE，BF，
因为BE?PC，由三视图知AC?面PBC， 且BE?面PBC，所以AC?BE，
又由ACPC?C，所以BE?面PAC， 由PA?面PAC，所以BE?PA， BEEF?E，所以PA?面BEF，
由BF?面BEF，所以PA?BF，
所以?BFE是二面角B?PA?C的平面角．???6分 A O(B) 图1 z P F y E A O(B) H 图2 C x C x PEEF??PEF~?PAC，?， PAACPE?2,AC?4,PA?42，?EF?2， ??????????????8分 ?在直角?CFE中，有tan?BFE?BE?6． EF所以，二面角B?PA?C的正切值为6． ???????????????9分 （法二）：如图3，过P作PH?BC交BC于点H，由三视图知?PBC为等腰三角形，
BC?4，PH?23，
由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：
z P y B(0,0,0)，C(4,0,0)，P(2,0,23)，A(4,4,0)，
则BA?(4,4,0)，BP?(2,0,23)，CA?(0,4,0)， A O(B) H 图3 C x CP?(?2,0,23),
设平面PAB、平面PAC的法向量分别为m、n． 设m?(x1,y1,z1)，由m?BA?0，m?BP?0，得???4x1?4y1?0，
??2x1?23z1?0令z1?1， 得x1??3，y1?3，即m?(?3,3,1)． ???????6分
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??4y2?0设n?(x2,y2,z2)，由n?CA?0，n?PA?0，得?，
???2x2?23z2?0令z2?1， 得x2?3，y2?0，即n?(3,0,1)． ?????????7分
?cos?m,n??m?n?27，tan?m,n???6．???????8分 ???mn277而二面角B?PA?C的大小为锐角，所以二面角B?PA?C的正切值为6．?9分 （3）（法一）：记C到面PAB的距离为h，由（1）、（2）知PA?AB?42,PB?4，
147h， ????????????12分 ?S?PAB?47，VC?PAB?S?PAB?h?33三棱锥P?ABC的体积VP?ABC?1163S?ABC?PH?， ????????13分 33由VP?ABC?VC?PAB，可得：h?421． ???????????????14分 7（法二）：由（2）知，平面PAB的法向量m?(?3,3,1)，CA?(0,4,0) 记C到面PAB的距离为h，
?h?m?CA43421??． ??????????????????14分
m77【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，
三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
19． （本小题满分14分）
已知首项大于0的等差数列?an}的公差d?1，且（1）求数列?an}的通项公式；
112??． a1a2a2a331?n(?1)n?1（2）若数列?bn}满足：b1??1，b2??，bn?1?，其中n?2． bn?nan①求数列?bn}的通项bn；
②是否存在实数?，使得数列{bn}为等比数列？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（法一）：数列?an}的首项a1?0，公差d?1，
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