?an?a1?(n?1)，
111， ???????????????2分 ??anan?1anan?1?11112111111?， ?????3分 ??(?)?(?)????a1a3a1a1?23a1a2a2a3a1a2a2a3整理得a12?2a1?3?0解得a1?1或a1??3（舍去）． ???????????4分 因此，数列?an}的通项an?n． ???????????????5分 （法二）：由题意得
a?a112??13?， ?????????????1分 a1a2a2a3a1a2a33数列?an}是等差数列，?a1?a3?2a2， ???????????2分
?又
2a22?，即a1a3?3． ?????????????????????3分
a1a2a33a1?0,d?1，
． ?????????????4分 ?a1(a1?2)?3，解得a1?1或a1??3（舍去）
因此，数列?an}的通项an?n． ???????????????5分
1?n(?1)n?1bn?（2）①bn?1?， nn ?nbn?1(n?1）bn??1． ????????????????????6分 n?1n(?1)(?1)(n?1）bn，则有c2??，cn?1?cn?1(n?2)．
(?1)n令cn?(n?2??)(-1)n． ???8分 ?当n?2时，cn?c2?(n?2)?n?2??，bn?n?1??1, n?1,?因此，数列?bn}的通项bn??(n?2??)(-1)n． ?????????9
,(n?2).?n?1?分 ②
b1??1，b2??，b3??1??， ???????????????10分 2 2015年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 6 页 共 14页
?若数列?bn}为等比数列，则有b22?b1b3，即?2?(?1)(?解得??1或???1??)， 21． ??????????????????????11分 2(2n?5)(-1)n1b（n?2)，n+1不是常数，当???时，bn?数列?bn}不是等比数列，
2（2n?1）bn当??1时，b1??1，bn?(?1)n(n?2)，数列?bn}为等比数列．
所以，存在实数??1使得数列?bn}为等比数列． ????????????14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、
等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）
x2y22已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过左焦点倾斜角为45?的直线
ab2被椭圆截得的弦长为
42． 3（1）求椭圆E的方程；
（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M?1,0?作l的垂线垂足为Q，求点Q的轨迹方程．
a2?b22222?解：（1）因为椭圆E的离心率为，所以，解得a?2b，
2a2x2y2故椭圆E的方程可设为2?2?1，则椭圆E的右焦点坐标为?b,0?， 过右焦点倾
2bb斜角为45?的直线方程为l?:y?x?b． ???????????????2分
?x2y2??1,?2设直线l?与椭圆E的交点记为A,B，由?2b2b2消去y，得3x?4bx?0，
?y?x?b,?解得x1?0,x2?4b42b42， 因为AB?1?12x1?x2?，解得b?1． ?333x2?y2?1． ????????????????????4分 故椭圆E的方程为2（2）（法一）（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y?kx?m，
2015年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 7 页 共 14页
?y?kx?m?联立直线l和椭圆E的方程，得?x2， ??????????????5分
2??y?1?2消去y并整理，得2k?1x?4kmx?2m?2?0， ??????????6分 因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，
?2?22???16k2m2?4?2k2?1??2m2?2??0， ???????????????7分
化简并整理，得m2?2k2?1． ????????????????8分 因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为：y??1?x?1?， k1?km?x?,1?2???y???x?1?,1?k联立? 解得? ?????????9分 k?y?k?m,??y?kx?m,?1?k2?(1?km)2?(k?m)2k2m2?k2?m2?1(k2?1)(m2?1)m2?1，?x?y????(1?k2)2(1?k2)2(1?k2)21?k22222把m?2k?1代入上式得x2?y2?2． ① ?????????????11分
（ii）当切线l的斜率为0时，此时Q(1,1)，Q(1,?1)符合①式． ??????12分 （iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q(2,0) 或(?2,0)，符合①式． ???13分 综上所述，点Q的轨迹方程为x?y?2． ???????????????14分 （法二）：设点Q的坐标为Q(x0,y0)，
（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y?kx?m，
22同解法一，得2k?m?1?0， ① ????????????????8分
22因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为：y??1?x?1?， k1?x0?k?,1??y?0?y???x?1?,联立? 解得? ② ???????9分 k22x?x?y00?m?0?,?y?kx?m,?y0?42222②代入①并整理，有y0?2x0?2x0?1y0?x0?2x0?1x0?2?0，?10分
?????? 2015年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 8 页 共 14页
22即y0?x0?2???y20?x02?2x0?1??0，
2222由点Q与点M不重合， ?y0?x0?2x0?1?y0??x0?1??0，
?x02?y02?2?0， ③ ????????????????????11分
（ii）当切线l的斜率为0时，此时Q(1,1)，Q(1,?1)符合③式． ??????12分 （iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q(2,0) 或(?2,0)，符合③式． ???13分 综上所述，点Q的轨迹方程为x2?y2?2． ???????????????14分 （法三）：设点Q的坐标为Q(x0,y0)，
（i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y?y0?k(x?x0)，整理，得l的方程为y?kx?kx0?y0， ???????????????????????5分
?y?kx?kx0?y0?联立直线l和椭圆E的方程，得?x2， 消去y并整理，
2??y?1?2得2k?1x?4k?y0?kx0?x?2?y0?kx0??2?0， ????????6分
22??2因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，
22???16k2?y0?kx0??8?2k2?1???y0?kx0??1??0， ?????????7分
??化简并整理，得?y02?x02?2kx0y0?2k2?1?0， ① ?????????8分 因为MQ与直线l垂直，有k?1?x0， ②??????????????9分 y042222②代入①并整理，有y0?2x0?2x0?1y0?x0?2x0?1x0?2?0，?10分 22即y0?x0?2?????????y20?x02?2x0?1??0，
222x0?1?y02点Q与点M不重合， ?y0?x0???x01??20? ，
?x02?y02?2?0， ③????????????????????????11分
（ii）当切线l的斜率为0时，此时Q(1,1)，Q(1,?1)符合③式． ??????12分 （iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q(2,0) 或(?2,0)，符合③式． ???13分
2015年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 9 页 共 14页
综上所述，点Q的轨迹方程为x2?y2?2． ???????????????14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21．（本小题满分14分）
已知定义在[?2,2]上的奇函数f(x)满足：当x?(0,2]时，f(x)?x(x?2)． （1）求f(x)的解析式和值域；
（2）设g(x)?ln(x?2)?ax?2a，其中常数a?0． ①试指出函数F(x)?g(f(x))的零点个数； ②若当1?k?1,2,1是函数F(x)?g(f(x))的一个零点时，相应的常数a记为ak，其中 k7． ,n．证明：a1?a2??an?（n?N*）
6f(x)为奇函数，?f(0)?0．
解：（1）
当x???2,0?时，?x??0,2?，则f(x)??f(?x)??(?x)(?x?2)??x(x?2)，
??x(x?2)x??0,2?, ???????????????2分 ?f(x)?????x(x?2)x???2,0?,x?[0,2]时，f(x)???1,0?，x???2,0?，f(x)??0,1?，
?f(x)的值域为??1,1?． ???????????????????3分
（2）①函数f(x)的图象如图a所示，当t?0时，方程f(x)?t 有三个实根；当t?1或t??1时，方程f(x)?t只有一个实 根；当t?(0,1)或t?(?1,0)时，方程f(x)?t有两个实根．
（法一）：由g(x)?0，解得a?y1?2?1o?1图a 12xln(x?2)，
x?2f(x)的值域为??1,1?，?只需研究函数y?设h(x)?ln(x?2)在??1,1?上的图象特征． x?21?ln(x?2)ln(x?2)(x?[?1,1])，h(?1)?0，h?(x)?，
x?2(x?2)21． e令h?(x)?0，得x?e?2?(0,1)，h(e?2)?当?1?x?e?2时，h?(x)?0，当e?2?x?1时，h?(x)?0，
2015年深圳市高三年级第一次调研考试(数学理科)答案及评分标准 第 10 页 共 14页