试卷类
型：A
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数 学（理工类）
本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再炫图其他答案标号。打在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选作的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，打在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设集合M?{?1,0,1}，N?{a,a}，若M?N?N,则a的值是 （ ） A．1 B．0 C．－1 D．1或－1 2.复数
i201322i?1（i为虚数单位）的虚部是（ ）
B．
2A．i
5115
2 C． ?i
51 D．?
513．“??????,???2?”是“方程x?ycos??1表示焦点在x轴上的双曲线”的（ ） B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3 A．充分而不必要条件 C．充要条件
12???????????4.设非零向量a、b、c，满足|a|?|b|?|c|，|a?b|?|c|，则sin?a,b?= ( )
1212A． ? B．
12 C．?32 D．32
正视图 5.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，
则其侧视图的面积为（ ） ．．．A．
32 B．
338 C．
34 D．
32俯视图
第5题图 6．如下图，是把二进制数1111(2)化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（ ）
A．i?3 B．i?3 C．i?4 D．i?4
i=i+1 开始 S=1 i=1 S=1+2S ? 否 是 输出S 结束 7.已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,??2013?2)的部分图像如图，
则?f(n?1n?6)?（ ）
12 A．?1 B． C．1 D．0
8. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的．．．最大值为（ ） A．
233 B．33 C．
332 D．63
9.宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ ） A．36 B．42 C．48 D．54
10.定义域是一切实数的函数y?f(x)，其图象是连续不断的,且存在常数?(??R)使得
f(x??)??f(x)?0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“?的相关函数”.有下列关
于“?的相关函数”的结论:①f(x)?0是常数函数中唯一一个“?的相关函数”；②
f(x)?x是一个“?的相关函数”；③ “
212的相关函数”至少有一个零点.
其中正确结论的个数是（ ） ．．
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ．．．．．．．（一）必考题
11. (x2?)6的展开式中的常数项为______.
x1频率0.50 组距0.44 0.30 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)
第13题图
12.在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25
cm与49 cm之间的概率为 ．
22
13．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是 ______；中位数是 ______.
14. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每 一条线段末端出发再生成 两条长度均为原
来
13的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为 120°；?；依次规律得到n级分形图.
则（1）n级分形图中共有 条线段.
（2）n级分形图中所有线段长度之和为 .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不
过圆心O，已知?BPA?30，PA?23，PC?1，则圆O的半径等于 . 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）设A、B分别为直线
??x??10?3tl:?(t为参数）和曲线C：??4cos?上的点， ??y?3t0则AB的最小值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分）
????已知函数f(x)?2?sin(2x?)?2sin2x,x??0,?6?2?
（1）求函数f(x)的值域；
B?ABCA、B、C的对边分别为a、b、c，若f()?1,b?1,c?3求a的值．（2）记的内角
2
18.（本小题满分12分）
已知公差不为0的等差数列{an}的前3 项和S3＝9，且a1、a2、a5成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式和前n 项和Sn.（2）设Tn为数列{?的最小值.
1anan?1
?}的前n项和，若Tn??an?1对一切n?N恒成立，求实数
19．（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P?ABCD中，PA?面ABCD，BD 交AC于点E，F 是PC中点，G为AC上一点．
（1）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由． （2）当二面角B?PC?D的大小为
2π3时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
P
FAD
20．（本小题满分12分）
在我校第十六届科艺读书节活动中，某班50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题： （1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
（2）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机
变量X的分布列及数学期望E(X).
21．（本小题满分13分）
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． 如图，“盾圆C”是由椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)与抛物线y?4x中两段曲线弧合成，
2F1、F2为椭圆的左、右焦点，F2(1,0)．A为椭圆与抛物线的一个公共点，AF2?52．
（1）求椭圆的方程；
（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数y?f(x)中，令x??(t)， 则?f(x)dx??abt2t1f??(t)?d?(t)??2t2t1b??(t2)）f??(t)???(t)dt（其中a??(t1)、．
???如?10?1?xdx?2?201?sintd(sint)??20cost(sint)?dt??20costdt?2?201?cos2t2dt．
阅读上述文字，求“盾圆C”的面积．
N、G、H四点，P和P? （3）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M、分别为NG、MH的中点，问说明理由．
22. （本小题满分14分）
MHNG?PF2P?F2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，
y M NA F1 O F2 GH第21题图
x
已知函数f(x)?|x?a|?lnx(x?0),h(x)?ax?1(a?R).
（1）若a?1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值； （2）若a?0，求f(x)的单调区间； （3）若
ln2222?ln3322???lnnn22?h(n)(2n?1)2(n?1)，求a的最小正整数值.
1. [答案]C 2.[答案]D 3.[答案]A（教材选修2-1 P页第4题改编） 80???2????????4.【答案】D.法一:【解析】∵|a?b|?|c|∴|a?b|?|c|?|a|，∴解得：2a?b??b??|b|2
????????3a?ba?b1∴cos?a,b??????2??∴sin?a,b??法二:利用向量几何意义画图求解.
22|a||b||b|5.【答案】C 6.[答案]A（教材必修3，P41页例4改编） 7.【答案】C【解析】根据图像
1?sin(2?142?2???5?12??6，解得??2，把点(?6)，
?6,1)的坐标代入，得
?6??)，结合???得??12?62函数的最小正周期是?，在一个周期内的各个函数值之和为0，2013?6?335?3，
2013f(?6)?1,f(2?6)?12,f(3?6)??,f(64?，故f(x)?sin(2x?)??1,f(5?6)??126,f(6?)?1，
?i?1f(n?6)?f(2011)?f(2012)?f(2013)?f(1)?f(2)?f(3)?1。
8【答案】 B(教材选修4-5P页第14题改编）【解析】设该三棱柱的底面边长为a，高为h，10则底面正三角形的外接圆半径是
a2a2sin60a2??a?a??h??，依题意有?????3?2??3?22??32，即
9?h212?1，1?a218?a218?h212?3318?a218?h212，当且仅当
342a218?h212，即a?346，h?2时
取等号，此时a2h取得最大值，因此该棱柱的体积9
ah的最大值是?6?2?33. 10.【答案】A ①设f(x)?c是一个“?的相关函数”，则?1???c?0，当???1时，c可以取遍实数集，因此f(x)?0不是常数函数中唯一一个“?的相关函数”故①不正确.
2②假设f(x)?x是一个“?的相关函数”,则?1???x?2?x???0对任意x都成立,
22所以??1?2????0,而此式无解,所以f(x)?x不是一个“?的相关函数”, 故②不正确; ③令x=0,得f()?21111f(0)?0,所以f()??f(0),显然f(x)?0有实数根;若2222212f(0)?0,f().f(0)??f(0)?0.又因为y?f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在
211?1?0,上必有实数根.因此“的相关函数”必有根,即“的相关函数”至少有一个零点.??22?2?