201X年普通高考数学科一轮复习精品学案
第26讲 平面向量的数量积及应用
一．课标要求：
1．平面向量的数量积
①通过物理中\功\等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
二．命题走向
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测201X年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；
三．要点精讲
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；
说明：（1）当θ＝０时，a与b同向； （2）当θ＝π时，a与b反向； （3）当θ＝
?时，a与b垂直，记a⊥b； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。
C
（2）数量积的概念
b=︱a︱·已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱cos?叫做a与b的
数量积（或内积）。规定0?a?0；
向量的投影：︱b︱cos?=为射影；
（3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。 （4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|2。 ②乘法公式成立
a?b∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称|a|?a?b???a?b??a?b?a?a?b??a?2a?b?b?a222222?b； ?2a?b?b；
222③平面向量数量积的运算律 交换律成立：a?b?b?a；
?????R?；
分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b?。
对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b④向量的夹角：cos?=cos?a,b????a?ba?b=
x1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222。
当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时
0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
b=x1x2?y1y2。 已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·
（6）垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b。
????b＝O?x1x2?y1y2?0，平面向量数两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·
量积的性质。
（7）平面内两点间的距离公式
设a?(x,y)，则|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2。
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么
|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式)。
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。
四．典例解析
题型1：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否： （1）0?a?0；
（2）0?a?0；
（3）若a?0,a?b?a?c，则b?c；
（4）若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立； （5）(a?b)?c?a?(b?c)对任意a,b,c向量都成立；
2（6）对任意向量a，有a?a。
2解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。
点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚0?a为零向量，而0?a为零。
例2．（1）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ） ．．．A．(a?b)?c?a?(b?c) C．m（a?b）=ma+mb
B．(a?b)?c?a?c?b?c
D．(a?b)?c?a?(b?c)
（2）设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：（1）答案：D；因为(a?b)?c?|a|?|b|cos??c，而a?(b?c)?|b|?|c|cos而c方向与a方向不一定同向。
??a；
（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b·c）
a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；④（3a+2b）
（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立。故④真。
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角
例3．（1）已知向量a、b满足|a|?1、且a?b?2，则a与b的夹角为（ ） |b|?4，A．
???? B． C． D． 6432（2）已知向量a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?),且a??b，那么a?b与a?b的夹角的大小是 。
（3）已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角。
（4）| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为
A．30°
解析：（1）C；（2）
（ ）
B．60°
C．120°
D．150°
0?； 20（3）由题意，a?b?1，且a与b的夹角为120， 所以，a?b?abcos120??201， 2c?c?c?(2a?b)?(2a?b)?4a2?4a?b?b2?7，
?c?7，
同理可得?d?13。
而c?d?(2a?b)?(3b?a)?7a?b?3b?2a??设?为c与d的夹角， 则cos??2217， 2172713???1791。 182????2?（4）C；设所求两向量的夹角为?
?
c?a?b c?a ?c.a?(a?b).a?????a?.a ?b0??
?|a|2??|a||b|cos? 即：cos??所以??120.
o????|a|??2|a||b|???1 ???2|b||a|?点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式cos??a?b|a|?|b|??，要掌握向量坐标形式的运算。
??向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于a.b?|a||b|cos?这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。
例4．（1）设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。如果向量b1、b2、b3，满足|bi|?2|ai|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i?1,2,3，则（ ）
A．－b1+b2+b3=0 B．b1-b2+b3=0 C．b1+b2-b3=0 D．b1+b2+b3=0
（2）已知|a|?2|b|?0, 且关于x的方程x2?|a|x?a?b?0有实根, 则a与b的夹角的取值范围是（ ） A．[0,o???2??] B．[,?] C．[,] D．[,?] 63336解析：（1）D；（2）B；
点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。 题型3：向量的模
例5．（1）已知向量a与b的夹角为120，a?3,a?b?13,则b等于（ ） A．5 B．4 C．3 D．1
（2）设向量a,b,c满足a?b?c?0,a?b,|a|?1,|b|?2,则|c|2?（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 解析：（1）B；（2）D； 点评：掌握向量数量积的逆运算|a|?oa?b|b|cosQ2，以及a?|a|。
2???????例6．已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1。 ????aa解析：由＝（3，4），b＝（4，3），有x+yb=(3x+4y,4x+3y)；
??????a＝０?3(3x+4y)+4(4x+3y)=0； 又（xa+yb）⊥a?(xa+yb)·
即25x+24y＝０ ①；