20．（本小题满分16分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为
， an?3n?6，bn?2n?7（n?N*）
将集合{x|x?an,n?N*}{x|x?bn,n?N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列
c1,c2,c3,,cn,．
（1）求c1,c2,c3,c4；
（2）求证：在数列{cn}中．但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,（3）求数列{cn}的通项公式．
,a2n,；
兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案
1．
1112； 2．x?1； 3．； 4．[22,e?]； 5．?； 6．2； 162e49251；3?；2011；7． 8．； 9． 10．； 11． 12．13．2； 14．7．
15．解：（1）由B?C,2b?3a，可得c?b?2； 23a， 2
3232a?a?a2b?c?a14所以cosA??4?．
2bc3332?a?a22222（2）因为cosA?122,A?(0,?)，所以sinA?1?cos2A?． 33
742cos2A?2cos2A?1??，sin2A?2sinAcosA?．
99 所以cos?2A????????7?2422 ?cos2Acos?sin2Asin????????4?44?9?292??8?72． 1816．（1）证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD, ∵ 四边形BCC1B1是平行四边形,
A1A∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点， ∴OD为△ABC1的中位线, ∴ OD//AB1. ∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D, ∴AB1//平面BC1D.
C1B1DEBOC（2）解法1：∵AA1?平面ABC,AA1?平面AAC11C,
∴ 平面ABC?平面AAC11C，且平面ABC平面AAC11C?AC.
作BE?AC，垂足为E，则BE?平面AAC11C， ∵AB?BB1?2，BC?3， 在Rt?ABC中，AC?AB2?BC2?4?9?13，BE?AB?BC6， ?AC13∴四棱锥B?AAC11D的体积V? ?11??AC11?AD??AA1?BE 32136?3. ?13?2?6213AA1∴四棱锥B?AAC11D的体积为3. 解法2：AA1?平面ABC,AB?平面ABC，
∴AA1?AB. ∵BB1//AA1, ∴BB1?AB. ∵AB?BC,BCB1DBOECBB1?B，
C1∴AB?平面BB1C1C.
取BC的中点E,连接DE,则DE//AB,DE?∴DE?平面BB1C1C. 三棱柱ABC?A1B1C1的体积为V?则VD?BC1C11AB， 21?AB?BC?AA1?6， 2111111???BC?CC1?DE?V?1，VA1?BB1C1???B1C1?BB1?A1B1?V?2. 326323 而V?VD?BCC1?VA1?BB1C1?VB?AAC, 11D∴6?1?2?VB?AAC. ∴VB?AA1C1D?3. 11D∴四棱锥B?AAC11D的体积为3.
17．解：作法一：以抛物线的焦点F为圆心，以|FA|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B，且点B在顶点O的左侧，则直线AB就是抛物线在点A处的切线．
y B O F A x 证明：抛物线的焦点F的坐标为（故过点A、B的直线方程为y?2pp,0），设A（x0,y0），则|FA|=x0?，从而B（?x0,0），22y0(x?x0) （*） 2x0利用方程y0?2px0将方程（*）整理得y?y0?p(x?x0)，此方程即为抛物线在点A处的切线点方程．
作法二：过A作y轴垂线，交y轴于D点，在x轴上截取BO?DA，且点B在顶点O的左侧，连BA，则直线BA为所求作的切线．证明同上．
123418．解:（1）∵?an?为常数列，∴an?1(n?N?).∴f(4)?C4?C4?C4?C4?15.
（2）∵?an?为公比为2的等比数列，∴an?2n?1(n?N?).
123∴f(n)?Cn?2Cn?4Cn?n， ?2n?1Cnnnn，(1?2)?3， ?2nCn123∴1?2f(n)?1?2Cn?22Cn?23Cn?3n?1故f(n)?.
2（3）假设数列?an?能为等差数列，使得f(n)?1?(n?1)2n对一切n?N?都成立，设公差为d，则f(n)?a1Cn?a2Cn?nn?1且f(n)?anCn?an?1Cn?12k?akCn?n?1n， ?an?1Cn?anCnk?akCn?1221， ?a2Cn?a1Cnk?Cn?n?1?Cn)
相加得 2f(n)?2an?(a1?an?1)(Cn?Cn?∴f(n)?an?n?1?Cn)，
a1?an?112(Cn?Cn?2k?Cn?
?an?a1?an?1n(2?2)?1?(n?1)d??2?(n?2)d?(2n?1?1). 2∴f(n)?1?(d?2)??2?(n?2)d?2n?1?(n?1)2n恒成立， 即(d?2)?(d?2)(n?2)2n?1?0 n?N?恒成立，∴d?2.
故?an?能为等差数列，使得f(n)?1?(n?1)2n对一切n?N?都成立，它的通项公式为an?2n?1. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当a?2时，f(x)?x|x?2|???x(x?2),x?2
?x(2?x),x?2由图象可知，单调递增区间为（-?，1]，[2，+?）（开区间不扣分）
a2a2a,??1 （2）当a?1时，f(x)?x(x?a)?(x?)?242∴f(x)min?f(1)?1?a
当1?a?2时，|x?a|min?0，∴f(x)min?0
当a?2时，（Ⅰ）当2?a?3时，f(x)min?f(2)?2a?4
（Ⅱ）当a?3时，f(x)min?f(1)?a?1
∴f(x)min?1?a,a?1?0,1?a?2? ???2a?4,2?a?3??a?1,a?3?x(x?a),x?a
?x(a?x),x?a（3）f(x)??①当a?0时，图象如右图所示
?a2(2?1)a?y?由?得x? 42?y?x(x?a)?∴0?m?a，a?n?22?1a 2②当a?0时，图象如右图所示