一、共线或共面问题
→→→
1.已知不共线向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
→→→→→→→→→
[解析] AD＝CD－CA＝CD＋AC＝CD＋AB＋BC＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝3a＋6b＝3AB.
2.
已知a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＝________，y＝________.
∴A、B、D三点共线，同理B、C、D三项错误．故选A.
x＋1＝3λ，??
－13 8[解析] a∥b，∴b＝λa.∴(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp，∴?8＝－2λ，
??2y＝－4λ，
??x＝－13，
∴? ?y＝8.?
3.下列命题中正确的是 ( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb 由零向量定义知选C.
4、若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则( ) A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) [解析] 由共面向量定理知选D.
5、下列条件使M与A、B、C一定共面的是( D )
→→→→→→→→→1→1→1→→→→
A.OM＝2OA－OB＋OC B.OM＋OA＋OB＋OC＝0 C.DM＝OA＋OB＋OC D.MA＋MB＋MC＝0
333
→→→→→→→→→
由MA＋MB＋MC＝0得MA＝－MB－MC，∴MA，MB，MC共面，∴M，A，B，C四点共面．
→→
6、已知空间四边形OABC如图所示，M是AB的中点，N是CM的中点，用基底{a，b，c}表示ON，则ON＝________. 11→→11111→→→1→→1→1
ON＝OM＋MN＝(OA＋OB)＋MC＝(a＋b)＋×(AC＋BC)＝(a＋b)＋(c－a＋c－b)＝a＋b＋c.
2222224442练习：
1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R且λa＋μb＝0，则( )
A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0，b＝0 [解析] 由共面向量定理知，选B.
2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(A )
A．共面向量
B．共线向量 C．不共面向量
D．既不共线也不共面向量
D．μ＝0，a＝0
[解析] 2a－b由a与b线性表出，所以三向量共面．
3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(D )
A．m、n、p共线 B．m与p共线 C．n与p共线
D．m、n、p共面
[解析] p＝2a＝m＋n，即p可由m、n线性表示，所以m、n、p共面．
→→1→
4．已知A、B、C三点共线，O为空间任意一点，如果OC＝x×OA＋OB，则x的值为
6
155A. B. C．－ 666
115
D．－[解析] 由直线向量参数方程知x＋＝1，∴x＝.
666
→→→
5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中→
与B1M相等的向量是(A )
1111
A．－a＋b＋cB.c＋b＋c
22221111
C.a－b＋cD．－a－b＋c 2222
11→→→→1→→1→→
[解析] B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD＝A1A＋(B1A1＋B1C1)＝－a＋b＋c.∴应选A.
22226．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(B )
→→→→→1→1→1→→→1→1→→1→1→1→
A.OP＝OA＋OB＋OC B.OP＝OA＋OB＋OC C.OP＝－OA＋OB＋OC 由OP＝OA＋OB＋OC，得
33322333→→→→→→→→→→→→
(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0，∴PA＋PB＋PC＝0即PA＝－PB－PC，∴P，A，B，C共面．故选B.
7．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
→→→
②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面． 其中正确的命题是(B )A．仅①
B．仅②C．①②
D．都不正确
[解析] 可判定①不正确，②正确．故选B.
8．如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是(A )
A．若b与c不共线，则a、b、c、d共面 B．若b与c共线，则a、b、c、d共面 C．当且仅当c＝0时，a、b、c、d共面 D．若b与c不共线，则a、b、c、d不共面
[解析] 当a，b，c共面，b，c，d共面时，若b与c不共线，则b与c可作为平面的基向量，此时a，b，c，d共面． 9．若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为(A ) 1891A.，，－ 5102
18911891
B．－，，－ C.，－，－
51025102
1891
D．－，－， 5102
α＋β＋γ＝4??
[解析] 由题意，有?α＋β－3γ＝6
??3α－2β＋2γ＝8
??9
解得?β＝10
1?γ＝－?2
18α＝
5
.故选A.
10．已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的→1→1→1→→1→1→→→→→→→→→→
是( B )A.OM＝OA＋OB＋OC B.OM＝OA－OB＋OC C.OM＝OA＋OB＋OC D.OM＝2OA－OB－OC
22233
[解析] 由共面定理x＋y＋z＝1可知B正确． 二、填空题
11．给出下列几个命题：
①a＝“从上海往正北平移9 km”，b＝“从北京往正北平移3 km”，那么a＝3b；
→→
②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB＋CA＝2a，则C∈l. 其中正确的命题是________．[答案] ①②③
→→→
[解析] ①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为AB＋CA＝CA→→→
＋AB＝CB＝2a，所以CB与l平行，又B在l上，所以C∈l.
12．在以下三个命题中，真命题的序号为________．
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． [答案] ①② [解析] c与a、b共面，不能构成基底．
→→→→
13．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x→→→→
＋3y＋4z＝________. －1 [解析] OA＝－2xOB－3yOC－4zOD，由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
7→→→→
14．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，则x＋y＋z等于________．[答案] 6→→→→→→→→→→
[解析] 如右图，AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋(－1)·C1C，又已知AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C， x＝1??→→→→→→∴x·AB＋2y·BC＋3z·C1C＝AB＋BC＋(－1)·C1C??2y＝1
??3z＝－1117
∴x＋y＋z＝1＋－＝.
236二、数量积的运算
例题1、向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．
[解析] a·b＝|a||b|cos＝3×4×cos30°＝63；a2＝a·a＝|a|2＝9；b2＝b·b＝|b|2＝16； (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋63－32＝63－23.
ππ
2、设a⊥b，＝，
36
[分析] 可直接运用|a|2＝a·a.[解析] |a＋ b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c| 2＋2(a·b＋a·c＋b·c) 13
＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×＋2×3×)＝17＋63，∴|a＋b＋c|＝17＋63.
22
3、已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？ →→→→→→→→→→→→→→→→→
AC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|2＝(AB＋AD＋AA1)2＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋→2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＝6.∴|AC1|＝6.
4、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．
→→→→→→
求B、D间的距离就是求|BD|，关键是如何表示BD，由题可知BD＝BA＋AC＋CD，、→→→→→→∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理AC·BA＝0，∵AB与CD成60°角，∴
→→→→→→→→→→→→→→→60°或120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|·|BD|＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD
→→?)，?4 (
＝3＋2×1×1×cos
→→?).?2 (
11
?x＝1，y＝，z＝－. 23
→
∴|BD|＝2或2.即B、D之间的距离为2或2.
1．若a，b均为非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 共线包括同向和反向，只有a、b同向时，才有a·b＝|a||b|成立． 2．下列结论中正确的是(B )
A．(a·b)·c＝(b·c)·a B．a·b＝－|a||b|，则a∥b C．a，b，c为非零向量，a·c＝b·c，则a∥b D．a·a＝b·b，则a＝b [解析] a·b＝－|a||b|，说明a与b夹角为π，所以共线．
3．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是( A )
A．垂直
B．共线 C．不垂直
D．以上都可能
[解析] ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直． 4．下列结论正确的是(B )
A．a·e＝acos B．a⊥b?a·b＝0 C．|a|2＝|a|·a D．(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( C )
→→→→→→→→
A.AE·BC
→→→→→→→→C.AE·BC>AE·CD D.AE·BC与AE·CD不能比较大小
6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|( C )
A.7 B.10 C.13 D．4
[解析] |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝13.
→→→→→
7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则＝(B )
A．30° B．60° C．90° D．120° →→ [解析] A′B·B′C＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2
→→
A′B·B′C11π→→→→
＝0－0－0＋c＝c＝1.∴cos〈AB，B′C〉＝＝＝，∴〈A′B，B′C〉＝.
3→→2·22|A′B||B′C|
2
2
8．若|a|＝|b|＝4，＝60°，则|a－b|等于(A ) A．4 B．8 C．37
D．13
[解析] |a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2·|a|·|b|cos＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，∴|a－b|＝4. 9．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是( C )
→→→→→→→→→→→→
A．|AB＋AC＋AD|＝|AB＋AC－AD| B．|AB＋AC＋AD|2＝|AB|2＋|AC|2＋|AD|2 →→→→→→→→→→C．(AB＋AC＋AD)·BC＝0 D.AB·CD＝AC·BD＝AD·BC
→→→→→→→→ [解析] 因为AB、AC、AD两两垂直，则可得AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC，且AB·AC＝0，AB·AD＝0，AC·AD＝0，AC·BD→→＝0，AD·BC＝0，所以得到A、B、D均正确．
10．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于( B )
→
A．2BA
→→→→B．2AD·BD C．2FG·CA
→→
D．2EF·CB
1→→→→→→→→→→
[解析] 2BA·AC＝－a2,2AD·BD＝a2,2FG·CA＝－a2,2EF·CA＝－a2,2EF·CB＝－a2.
2
11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是____26_______ →→→→→→
[解析] 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.|AC1|2＝A1C1·A1C1＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2 →
＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24所以|AC1|＝26. 12．已知|a|＝22，|b|＝
23，a·b＝－2，则＝________.[答案] π 24
14
13．|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，则|a＋b＋c|＝________.[答案]
14．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB?面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°，则点C与D之间的距离为___2 ∵AC⊥α，BD与α成30°角，∴AC与BD所成角为60°.
→→→→→→→→→→→→→又∵CD＝CA＋AB＋BD，|CA|＝|AB|＝|BD|＝1，〈CA，AB〉＝〈AB，BD〉＝90°，〈CA，BD〉＝120°， →→→→
∴CD2＝(CA＋AB＋BD)2＝3－1＝2.∴C，D两点间距离为2. 三、直线与平面的夹角 （1） 定义法求线面角
例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所成的角．:
∵PD⊥平面ABCD??
?? ? AB?平面ABCD?PD⊥AB
??
DA⊥AB? PD∩DA＝D??
?AB⊥平面PDA??
??平面PAD⊥平面PAB. ? AB?平面PAB?
取PA的中点为E，连结DE，BD，
∴DE⊥PA
??
??DE⊥平面PAB.
平面PAD⊥平面PAB
? 平面PAD∩平面PAB＝PA?
DE?平面PAD
2
a221
设PD＝a，则BD＝2a，DE＝a，∴sin∠DBE＝＝.∴∠DBE＝30°，即BD与平面PAB所成的角为30°.
22a2定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影．
练：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
解：(1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO. 而EO?平面EDB且PA?平面EDB.所以，PA∥平面EDB.
(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF.设正方形ABCD的边长为a，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.∴EF∥PD，F为DC的中点．
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中．BF＝BC2＋CF2＝（2）向量法求线面角
1
[例2] 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G、H分别在棱CC1、DD1、BB1、BC上，且CE＝CC1，DF
211
＝BG＝DD1，BH＝BC.求AH与平面AFEG的夹角．
42G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)， →
AF＝(4,4,1)－(0,4,0)＝(4,0,1)
→
AG＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)，
a?251a5a2＋?＝a.∵EF＝PD＝，∴在Rt△EFB中，tan∠EBF＝. ?2?2225