框剪结构结构振动分析毕业论文
二 框剪结构结构振动分析计算模型
2.1 运动方程的建立
多自由度结构的运动方程为：
?}?[c]{x?}?[k]{??}??F(t)? （2.1） [M]{?xx式中，?M?－质量矩阵； ?c?－阻尼矩阵； ?k?－刚度矩阵；
?}-速度 {x?}-加速度 x {?对于梁，柱线刚度比值大于5的强柱弱梁多层框架结构(如图1所示)，在动力分析中采用层间剪切模型。层间剪切模型是把横梁视为刚性梁，并假定结构质量集中在各层楼面及屋面处。当横梁发生水平震动时，不考虑柱的轴向变形，横梁只产生水平位移而不产生转角。一般情况是把每层楼面积屋面简化为一个质点，将剪切型多层框架定一步简化为质点体系（如图2所示），这些质点只能有水平线位移。下图中mi为第i层集中质量，ki为第i层柱上，下端错动单位位移所需的水平力，成为第i层的层间刚度。它等于该层所有柱的侧位移刚度之和，即
ki??(i)12EIchi3 （2.2）
式中，EIc为柱的抗弯刚度；hi为第i层层高。`
图2.1 多层剪切型框架计算图示 图2.2 简化计算图示
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图 2.3 楼层变形图 图2.4 简化后计算图示
根据刚度系数的定义，容易得到剪切性框架结构的侧位移刚度为：
kii?ki?ki?1ki,i_1?ki_1,i??kiki,i?1?ki?1,i??ki?1 （2.3） kir?0 于是得到剪切型结构的刚度矩阵为
?k1?k2??k?k???2????k2k2?k3kn?1?k3kn?1?kn?kn??? （2.4） ?kn??kn?剪切型多层框架的质量矩阵式对角阵：
?m1??M??????m200m3???? （2.5） ?mn?[C]??[M]??[K]
2.2剪切多层框架结构的自振特性
考虑无阻尼系统的自由振动：
?}?[k]{??}?{0} xx [M]{?应用雅克比法，其矩阵特征值问题为：
?K???0???2?M???0? （2.6） 首先要将矩阵化为同阶对称矩阵的标准值问题。 （1）将结构质量阵[M]进行乔列斯基（Cholesky）分解
质量矩阵[M]是对称正定矩阵，根据线性代数理论，一个对称的正定实矩阵总可以分
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解为一个下三角矩阵[L]及其转置矩阵?L?的乘积，即
T [ M]= [L] ×?L?T （2.7） （2）形成对称矩阵[A]。 将上式带入上上式得，
?K???0???2?L??L?T??0? （2.8a）
?L?T?或 ?K???1?L???????L??L???? （2.8b）
T2T00?1将?L?左乘上式，并注意到?L?T??=??L??，则有
T?1?1T?L??1??L?T??0???2?L?T??0? （2.9） ?L??1?K??令 ???2 （2.10）
?X???L?T??0? （2.11）
?L??A???L??K???1?1T? （2.12）
则式（a）变为
?A??X????X? （2.13）
因为[K]为对称矩阵，由上上式可见[A]=?A?,即[A]为对称矩阵。这样就可以利用雅克
T比法求的上式中对称矩阵[A]的特征值和特征向量。
将结构质量矩阵[M]进行乔列斯基分解。 式（3.21）可以写为：
?m11?m?21 ?m31?????mn1m12m22m32?mn2????m1n??l11?lm2n???21m3n?=?l31??????mnn????ln1l22l32?ln2l33?ln3??l11??0??????????lnn????l12l22l13l23l33l1n??l2n???l3n?
????lnn??? （2.14）
根据矩阵乘法可得
2 m11?l11···，n） （2.15） ,m11?li1l11（i=2，3，
j?1 mij?li1lj1?li2lj2???lijljj??likljk?lijljj（i.j?1,2,3?） （2.16）
k?1 3
于是可得计算[L]下三角元素的公式：
l11?m11,li1?mi1li1（i=2，3，···n） （2.17） ljj?mjj??l2jk?j?2,3,?n? （2.18）
k?1j?1 lij?mij??likljkk?1j?1(i?2,3,?n)(j?2,3,?j?1) (2.19)
ljj由于现在是对角阵，处理起来比较简单。
由?K???20????M???0?可得 ?K??M??1?M??????20?M???0? 其中
?????m1?M??m20???0?? ??m?n??以
?M??1前乘（b）式的两边得
?M??1?K??M??1?M??????20?M???0? 令 ???2
?X???M???0? ?A???M??1?K??M??1 则式（d）可写成
?A??X????X?
(2.20) （b）
(2.30)
（d）
2.31） 2.32）
2.33）
4
（（ （
?k1?k2?m1???k2?m1m2? [A]???k2m1m2k1?k2m1??k3m2m3??????0??? （2.34） ??k?m??mn?1mn??k?n?0?kn?mn?1mnm???
2.3剪切型多层框架的水平地震作用
单自由度体系的反应谱理论可得，但自由度体系的地震作用为：
F(t)?m?2x(t) （2.35）
根据反应谱理论，但自由度体系的最大地震作用为：
F??G（a） （2.36）
对于多自由度体系，第j振型第I质点的地震作用为：
Fji(t)?mi?2jxij(t) （2.37）
由振兴分解法可得，
xij(t)?Xjiqj(t)?Xji?j?j(t) （2.38）
将其带入式（a）的
Fji(t)??2jXjimi?j?j(t) （2.39）
利用单自由度反应谱的概念，得到第j振型第I质点的最大最大地震作用为：
Fji??jXji?jGj??j?jXjiGi （2.40）
式中，Fji(t)——j振型I质点的水平地震作用；
?j——与第j振型自振周期相应的地震影响系数；
Gi——集中于质点I的重力荷载代表值；
Xji——j振型I质点的水平相对位移；
?j——j振型的参与系数。
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