第6讲 正弦定理和余弦定理
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝ A．30°
2
( )．
2
B．60° C．120°
2
D．150°
2
c
解析 由a－b＝3bc，sin C＝23sin B，得a＝3bc＋b，b＝23.由余弦b2＋c2－a2c2－3bcc333
定理，得cos A＝＝＝－＝3－＝所以A＝30°，
2bc2bc2b222，故选A. 答案 A
2.(2012·四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝( )． 310
A.10 5
C.10
10B.10 5D.15
解析 依题意得知，CD＝1，CE＝CB2＋EB2＝5，DE＝EA2＋AD2＝2，CE2＋ED2－CD2310102cos∠CED＝＝，所以sin∠CED＝1－cos∠CED＝
2CE·ED1010，选B. 答案 B
3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝ A.2
B.3
3
C.2
( )．
D．2
解析 ∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.
ab
又a＝1，b＝3，∴sin A＝sin B， ∴sin A＝
asin B311
＝b2×3＝2，
13
∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝2×1×3＝2. 答案 C
4．(2012·湖南)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 ( )． 3
A.2
33B.2
C.
3＋62
D.
3＋39
4
解析 设AB＝c，BC边上的高为h.
由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4－4ccos 60°，即
c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)． 333又h＝c·sin 60°＝3×2＝2，故选B. 答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．
a2＋c2－b2解析 由余弦定理，得2ac＝cos B，结合已知等式得 33π2πcos B·tan B＝2，∴sin B＝2，∴B＝3或3. π2π答案 3或3
6．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
解析 依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对a2＋?2a?2－?2a?22的角的余弦值为：＝－4.
2a·2a2
答案 －4
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列． (1)求cos B的值；
(2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值．
解 (1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，1所以cos B＝cos 60°＝2. (2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin Asin C， 3即sin Asin C＝sinB＝1－cosB＝4. 2
2
8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos 2
A＝3，sin B＝5cos C. (1)求tan C的值；
(2)若a＝ 2，求△ABC的面积． 2
解 (1)因为0＜A＜π，cos A＝3， 得sin A＝
5
1－cos2A＝3.
又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C 52
＝3cos C＋3sin C. 所以tan C＝5.
(2)由tan C＝5，得sin C＝于是sin B＝5cos C＝
5. 6
51，cos C＝. 66
ac
由a＝ 2及正弦定理sin A＝sin C，得c＝ 3. 15
设△ABC的面积为S，则S＝2acsin B＝2.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为 A．2
B．3
( )．
C．4 D．5
解析 由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4. 答案 C
3π2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC的面积为2，AC＝3，∠ABC＝3，则△ABC的周长等于 A．3＋3 C．2＋3
( )．
B．33 33
D.2
解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面1π3
积为2acsin 3＝2，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋3，故选A. 答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
a＋bsin A＋sin Bπ?π?π??
解析 x＝c＝sin C＝sin A＋cos A＝2sin?A＋4?.又A∈?0，2?，∴4
????π?π3π2?
??答案 (1，2]
4．(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命
题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． π
①若ab>c2，则C<3 π
②若a＋b>2c，则C<3 π
③若a3＋b3＝c3，则C<2 π
④若(a＋b)c<2ab，则C>2 π
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>3
a2＋b2－c22ab－ab
解析 ①由ab>c，得－c>－ab，由余弦定理可知cos C＝2ab>2ab
2
2
1π
＝2，因为C∈(0，π)，函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，所以C<3，即①正?a＋b?2
?a2＋b2－?
a＋b－c?2?
确．②由余弦定理可知cos C＝>＝
2ab2ab
2
2
2
4?a2＋b2?－?a＋b?23?a2＋b2?－2ab4ab1π
＝≥＝，所以C<
8ab8ab8ab23，即②正确．③若Cab?a??b?是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即?c?2＋?c?2≤1，而c，c∈(0,1)，而函数y＝
?????a?3?b?3?a?2?b?2
a(0
????????
x
π2ab
所以假设不成立，所以C<2，即③正确．④因为(a＋b)c<2ab，所以c<
a＋b≤
2ab
＝ab，即ab>c2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a2＋b2)c2<2a2b2，2ab
2
2a2b22a2b22
所以c<2＝ab，即ab>c，转化为命题①，故⑤错误． 2≤2aba＋b答案 ①②③ 三、解答题(共25分)
5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C上． (1)求角C的值；
(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．