构造对偶式在数学解题中的应用（八种方法）
数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系的一对关系式。在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决。
一． 和差对偶
对于表达式u(x)?v(x)，我们可构造表达式u(x)例１若0????2v(x)作为它的对偶关系式。
，且3sin??4cos??5，求tan?的值。
解析：构造对偶式：3sin??4cos??y
5?y?sin????3sin??4cos??5?6则? ,得???3sin??4cos??y?cos??5?y?8?再由sin??cos??1，得：y??2275,?tan??34。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。 例２已知：a,b,c,d?R，且a?b?c?d4442222?1，
44求证：(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)?6。 解：
设M?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d),构造对偶式:N?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)4444444444444
则有：
M?N?6(a?6(a4?b?b4?c?c4?d4?2ab222?2ac22?2ad22?2bc22?2bd22?2cd)
22222?d)2?6又N?0，故M?6，即原不等式成立。 例３解方程：x2?8x?21?x?8x?21?10
x?8x?21?a，再由原方程联立可解得：
22解：构造对偶式：x2?8x?21? 1
???????xx2?8x?21??8x?21?10?a210?a2,(1)
,(2)1222那么(1)?(2)得：2x?42?22(100?a),(3)
8x52 (1)?(2)得：16x?10a，即a?代入（３）中得：2x?42?整理得：
925x2222，
x)，
212(100?6425?4， 解得：x??103。
二． 互倒对偶
互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。 例４若x,y,z?(0,1)，求证：
11?x?y11?x?y11?y?z?11?y?z?11?z?x?3。
解：设M???11?z?x,
构造对偶式：N?(1?x?y)?(1?y?z)?(1?z?x)，则
11?x?y11?y?z11?z?x11?y?zM?N??(1?x?y)??(1?y?z)??(1?z?x)??2?2?2?6而N?3，故M?3，即
11?x?y?11?y?z?11?z?x?3。
例５设a1,a2,a3,a222,an为互不相等的正整数，
求证：a1??a332??ann2?1?12?13?1n。
解：设Ｍ＝a1?a222?a332??ann12，构造对偶式：N?1a112?1a213??1an
则M?N?(a1?1a1)?(a222?a2)??(ann2?1an)?1???1n
131n 又a1,a2,a3,,an为互不相等的正整数，所以N?1?12??，因此
2
M?1?12?13?1n。
点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。
例６已知对任意x?(??,0)?(0,??)总有f(x)?2f()?x?0，求函数y?f(x)的解析
x1式。
解析：因f(x)?2f()?x?0 ①
x1用
1x替代上式中的x，构造对偶式：f()?2f(x)?x12x?0
11x?0 ②
由①－②×２得：f(x)?x?4f()?xx2故f(x)??2x3x。
三． 共轭对偶
共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。 例７已知z?c，解方程：z?z?3iz?1?3i。
解析：由z?z?3iz?1?3i ① 构造对偶式：z?z?3iz?1?3i ② 由①－②得z??z?2，代入②得(z?1)(z?1?3i)?0， 故z??1或z??1?3i。
例８若z?c，已知z?1且z??1，证明：
z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1为纯虚数。
z?1z?1解：设Ｍ＝，则M?()?，构造对偶式：Ｎ＝
则Ｍ＋Ｎ＝
z?1z?1z?1z?1＋
z?1z?1＝０（因为z?z?z2?1）
又∴
?0（因为z??1）
为纯虚数。
2b?1?22。
例９已知：a?0,b?0，且a?b?1，求证：2a?1? 3
证明：设Ｍ＝2a?1?∵M22b?1，构造对偶式：Ｎ＝2a?1?2b?1 ?M2?N2?4(a?b)?4?8
∴M?22，即原不等式成立。 四． 倒序对偶
倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
1234例１０求和：S?1Cn?2Cn?3Cn?4Cn??nCn
nkn?k*0解析：观察和式联想到Cn?Cn,0?k?n,n?N，故首先在和式右边添上一项0?Cn，
012则S?0?Cn?1Cn?2Cn??nCn ①
?0Cn ②
0n012构造对偶式： S?nCn?(n?1)Cn?(n?2)Cn012即②亦为： S?0?Cn?1Cn?2Cn??nCn ③
nn01由①＋③得：nCn?nCn??nCnn?1n?1?nCn
n0101∴2S?nCn?nCn??nCn?nCn?n(Cn?Cn??Cnn?1?Cn)
n∴2S?n?2 ∴S?n?2
点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！
例11、 正项等比数列{an}中，T?a1?a2?a3?试用Ｓ、Ｔ表示Q?1a1?1a2??1an?an,S?a1?a2?a3??an，
nn。
解析：传统解法都用a1,q表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过a1和q找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q?1和q?1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。 由题意知：T?a1?a2?a3??an ①
4
构造倒序对偶式：T?an?an?1?an?2?由①×②得：T2?a1 ②
n?(a1?an)?(a2?an?1)??(an?a1)?(a1?an)，即T?(a1?an)2
2再来看： Q?1a11an?1a21??1an ③
构造倒序对偶式：Q?即③＋④得：
2Q?(1a1?1an?an?1??1a1 ④
)?(1a2?1an?2)??(1an?1a1)，
即2Q?a1?ana1?an?a2?an?2a2?an?2??an?a1an?a1。
由等比数列性质可知，右边的分母均为a1?an，故
(a1?an)?(a2?an?1)?a1?an?(an?a1)2Q?
即2Q?2Sa1an2，∴Q?Sa1an
又a1an?Tn ∴Q?五． 定值对偶
S2?nST2。
Tn定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。
例１２已知函数f(x)?则Ｓ＝ 。
1x22x221?x。f()?f()?f()?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)=S，
432111(?1x)2解析：f(x)?f()?x1?x1?(1x?)2x221?x?11?x2?1
发现定值：f(x)?f()?1。
x1那么S?f()?f()?f()?f(1)?f(2)?f(3)?f(4) ①
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