构造对偶式：S?f(4)?f(3)?f(2)?f(1)?f()?f()?f() ②
234111由①＋②得：
2S?[f(111)?f(4)]?[f()?f(3)]?[f()?f(2)]?2f(1)43212)]?[f(3)?f()]?[f(4)?f()]3411
?[f(2)?f(∴２Ｓ＝７，即S?六． 奇偶数对偶
72。
奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。
例１３求证：
123412?34?56?2n?12n?12n?1。
2345672n2n?1解：设M?由于
12???56?,2n?12n2n?，构造对偶式：N?2n,
???。
234,?,3452n?12n?1因此M?N，从而M12n?12?M?N?12n?1
故M?。
1413n?2例１４求证：(1?1)(1?)(1?)?14)33n?1 (1?13n?2)?21?54??3n?13n?2证明：待证不等式的左边为：(1?1)(1?令：M?21?54??3n?13n?232?65??3n。
,P??43?76??3n?13n构造两个对偶式：N?∵
21M
3n?1??332?4567,??,34563n?13n?23n3n?13n?13n
?M?N?P?54??3n?13n?2)?(32?65??3n3n?1)??(43?76??3n?13n)
∴?(21?3n?1∴M?33n?1 故原不等式成立。
6
七． 轮换对偶
轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。
例１５求证：对任意实数a.?1,b?1，都有
a2b?1a2?b2a?1?8不等式成立。
证明：设M?b?12?b2a?1b2构造对偶式N?b2b?12?a2，
a?1则M?N?a?b2b?1??a2a?1?(a?b)(a?b)(b?1)(a?1)?0，即M?N
而N?b?1?1b?1?a?1?1a?1?4?(b?1)?1b?1?(a?1)?1a?1?4?2?2?8，
∴M?N?8，即M?8。当且仅当a?b?2时等号成立。
例１６设a,b,c?R，求证：
?a2a?b?b2b?c?c2c?a?a?b?c2b2。
证明：设M?a2a?b2?b2b?cb2?c2c?ac2，构造对偶式：N?a?b?c2b?c?a2，
c?a∴M?N?a?b2a?b??c2b?c??a2c?a?a?b2?b?c2?c?a2?a?b?c。
又M?N?0，即M?N?a2a?b?c2，
∴
a?b?b2b?c?c2c?a?a?b?c2。
八． 互余对偶
三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。
例17.已知x?[0,?22]，解方程：cosx?cos2x?cos3x?1
22222222解析：若令M?cosx?cos2x?cos3x，构造对偶式：N?sinx?sin2x?sin3x 则：M?N?3 ①
M?N?cos2x?cos4x?cos6x?2cosxcos3x?2cos3x?1?2cos3x(cosx?cos3x)?1?4cosxcos2xcos3x?12
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