要求：
（1）用Matlab语言或你熟悉的其他算法语言编程序。
（2）上机前充分准备，复习有关算法，写出计算步骤，反复检查程序。
（3）完成计算后写出实验报告，内容包括：所用算法语言，算法步骤叙述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析和小结等。
完成后请把所得结果写成论文形式完成，以PPT汇报，汇报结束修改后发到老师邮箱。
选题：
1． 编制以离散点{xi}i?0的正交多项式{Pk(x)}为基的最小二乘拟合程序，并用于对下列数
据做三次多项式最小二乘拟合。
mxi yi 实验要求：
－1.0 －4.447 －0.5 －0.452 0.0 0.551 0.5 0.048 1.0 －0.447 1.5 0.549 2.0 4.552 ?取权?(xi)1，求出拟合曲线y?S(x)???P(x)???kxk，输出
?kkk?0k?033??k,Pk(x?),k?k(0及平方误差,||?||22，并画出y?S(x)的图形。
2． 给出积分 （1）I??20xe2?x2（2）dx，
??23?4cotxdx，（3）I??321dx。 2x?1(0)(0)实验要求：（1）用龙贝格求积计算上述积分I的值。要求|Tk?1?Tk|?10?6时结束，输出T表及I的近似值。（2）用5点高斯求积公式及复化3点高斯求积公式计算上述积分，并输出
（3）分析比较各种计算结果。 I的近似值。
3． 比较求一阶导数的数值方法。给定函数f(x)?e,x?[0.5,2]。
实验要求：利用某距离点函数值，必要时给定端点导数值，分别用中心差分，数值积分求导，三次样条求导和理查森外推计算f(x)的一阶导数，分析，比较各种方法的效果，说明精度与步长h的关系。
4． 给定方程组
1x?3.016.031.99??x1??1????x???1?4.16?1.23（1）1.27???2???； ??0.987?4.819.34????x3????1???701??x1??8?10???32.09999962??x??5.900001???2????。 （2）??5??15?1??x3??5??????x21021???4???实验要求：
（1）用LU分解和列主元高斯消去法求解上述两个方程组。输出Ax=b中矩阵A及向量b，A=LU分解的L和U，detA及解向量x。
（2）将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990。用列主元高斯消去法求解，输出列主元行交换次序、解向量x及detA，并与（1）中结果比较。
（3）将方程组（2）中系数2.099999改为2.1，5.900001改为5.9。用列主元高斯消去法求解，输出解向量x及detA，并与（1）中结果比较。 （4）对结果做分析。
5． 用迭代方法求解线性方程组。用迭代法求解方程组Ax = b，其中A∈ R10?10为五对角
矩阵，它的每条对角线元素是常数，设为
??3???1?2?1???4A???????????实验要求：
?123?12?14141?2?3??121?4141?2??3?121?4?14?12??3?12????????? ?1???4?1??2??3??（1）选取不同的初始向量x(0)和不同的方程组右端项向量b，给定迭代误差要求，分别用Jacobi、Gauss-Seidel以及SOR（松弛系数?取1???2的不同值） 迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数。比较并分析实验结果， 要求迭代误差满足x(k?1)?x(k)??10?5。
（2）取定右端向量b 和初始向量x(0)（自己定），将A的主对角线元素成倍增长若干次（次数自己定），非主对角线元素不变，重复（1）中过程，比较收敛速度和实验结果，迭代误
差同（1）。
6． 求非线性方程及方程组的根，准确到10?6。给定方程分别为：
2?3x12?x2?0(())T x?(1,1)（1）x?3x?2?e?0； （2）?。 23?3x1x2?x1?1?02x实验要求：
（1）用你自己设计的一种线性收敛迭代法求方程（1）的根，然后再用斯蒂芬森加速迭代计算。
（2）用牛顿法求方程（1）的根，输出迭代初值，各次迭代值及迭代次数，并与（1）的结果比较。
（3）用牛顿法求（2）的根，输出迭代次数及解向量x的近似。
7． 用QR算法求矩阵特征值：
?2?4?621????（1）A?231； （2）Η??0?????111???0??03456?4567??3678?。
?0289?0010??实验要求：
（1）根据QR算法原理编制求（1）及（2）中矩阵全部特征值的程序并输出计算结果（要求误差?10?5）。
（2）直接用现有数学软件求（1），（2）的全部特征值，并与（1）的结果比较。
8． 求初值问题的数值解，给定初值问题为：
?y???50y?50x2?2x,0?x?1,??1y?y?2?,1?x?2,?（1）? （2）? xx1y(0)?.??y(1)?1.?3?实验要求：
（1）用改进的欧拉法（取h?0.05）四阶R-K方法（取h?0.1）求（1）的数值解，并输出xi?1?0.1i(i?0,1,?,10)的数值解yi。
（2）用经典四阶R-K方法解（2），步长h分别取为h?0.1， 0.025， 0.01计算，并输出
xi?0.1i(i?0,1,?,10)各点的数值解yi及准确解y(xi)，并分析结果。（初值问题（2）的
准确解y(x)?1?50xe?x2） 3
9．常微分方程初值问题
?y'??y?cos2x?2sin2x?2xe?x 0 （1）分别取步长h = 0.1，0.01，0.001，采用改进的Euler方法、4阶经典R－K方法和4阶Adams预测-校正方法计算初值问题。以表格形式列出10个等距节点上的计算值 和精确值，并比较他们的计算精确度。其中多步法需要的初值由经典R-K法提供。运算时，取足以表示计算精度的有效位。 (2) 取h?0.001，仍然用这两种方法（4阶经典R－K方法和4阶Adams预测-校正方法）计算(不必保留中间结果.只需显示最后一步的计算值)，比较两种方法所花的计算机CPU时间。 2?x?cos(2x)。 2'2sin(lnx)?,1?x?2?y\?y?2y?10．（1） ? xxx2??y?1??1,y?2??2其精确解为y(x)?c1x?c231?sin(lnx)?cos(lnx),其中 210x101(8?12sin(lin2)?4cos(ln2))??0.039207013270 11c1??c2?1.1392070310c2??y\?xy'?3y?4x,0?x?13（2）?，其精确解为y?x??x?x ?y(0)?0,y(1)?2实验要求：对每个边值问题，分别取h=0.2和h=0.1,用差分法计算,并利用两个步长计算得到的近似解进行外推。列出计算解，外推解和精确解，并进行比较。 11、线性方程组的稳定性。体会用直接方法和迭代方法求解病态线性方程组时，各种方法的收敛性问题。 考虑方程组Hx = b 的求解，其中系数矩阵 H 为Hilbert病态矩阵： H?(hij)n?n,hij?试验要求： 1,i?j?1i,j?1,2,?,n （1）取定右端向量b（自己定，可通过先给定解如各分量均为1，再计算出右端b），选择 方程组的阶数为n = 5，分别用LU 分解方法、Jacobi、Gauss-Seidel 和 SOR 迭代方法求解方程组，各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？ (2)逐步增大问题的维数（n = 10、20、30…），计算得结果如何？计算结果说明了什么？ 12、 矩阵特征值和特征向量的数值计算方法 考虑Hilbert 矩阵 H?(hij)n?n,hij?试验要求： 1,i?j?1i,j?1,2,?,n （1）取n = 5，分别编写实用的QR迭代算法（不是用Matlab 中提供的函数“eig”）、隐式对称QR 迭代算法、Jacobi 方法计算该矩阵的全部特征值，并用带位移的幂法求所有特征向量，比较并分析实验结果。 （2）分别利用原理型的QR算法和Matlab中提供的函数“eig”计算下面矩阵的特征值并比较其结果。 ?2?4?A??0??0??0 3456?4567??3678? ?0289?0010??13、高维积分数值计算的 Monte-Carlo方法 相关原理：设D为s维空间Rs的一个区域，f(x)?D?Rs?R，考虑高维积分 I??f(x)dx D高维积分一般采用随机抽样方法，即Monte-Carlo方法． Monte-Carlo方法有以下两种形式： １．在D上随机抽取n个点x(1),x(2),?,x(n)，计算f(x)在这些点处的函数值 f(x(1)),f(x(2)),?,f(x(n)) 计算f(x)在D上的样本均值 1n?fn??f(x(i)) ni?0