??自然，我们希望fnI，m(D)为D的测度（面积、体积等），因而 m(D)m(D)nf(x)dx?f(x(i)) ?ni?0I???f(x,y)dxdy
D I??D２．方法２以计算二重积分为例说明其基本思想，设
我们总可以将积分域D包含在矩形区域[a,b]?[c,d]中，而且不失一般性假设．因此，被积函数下面的柱体0?f(x,y)?M中（f(x,y)?0时的处理方式相同）
?可以包含在立方体W?[a,b]?[c,d]?[0,M]中．在W中随机选取一个点其中x,y,z分别是在区间[a,b],[c,d],[0,M]中均匀分布的随机数．根K?(x,y,z)，
据几何概率的理论，点K落在柱体?中的概率等于?的体积与W的体积之比，
即
P(K??K?W)?所以
I?M(b?a)(d?c)P(K??K?W)
计算时用抽样的方法算出K落在?中的频率代替概率，得到
I???f(x,y)dxdy?M(b?a)(d?c)DI
M(b?a)(d?c)n N其中N是抽样总数，n是抽样点K落在?之中的频数．
对于一般的区域D，计算其测度（只要理解为平面上的面积和空间中的体积）的一般方法是：先找一个规则的区域A包含D，且A的测度m(A)是已知的．生成A中N个均匀分布的点x(1),x(2),?,x(N)，如果其中有n个落在区域D中，则区域D的测度近似为
m(D)?nm(A) N函数f(x)在区域D上的积分可以近似为区域D的测度与函数f(x)在区域D中的n个随机值的平均值的乘积，即
?Df(x)dx?m(D)1f(x(k)) ?nx(k)?D?m(A)f(x(k)) ?Nx(k)?D实验要求
１．假设冰淇淋的下部为一锥体而上面为一半球，考虑冰淇淋锥的体积问题：计算锥面z2?x2?y2上方和球面x2?y2?(z?1)2?1的内部区域的体积．如果使用球面坐标，该区域可以表示为如下的积分：
?2c?os2???040?0?2si?nd?d?d?
用Monte-Carlo方法计算该积分；
２．显然这样的冰淇淋可以装在如下立方体的盒子里 ?1?x?1,?1?y?1,0?z?2 而该立方体的体积为８．生成这个盒子里均匀分布的随机点，落入冰淇淋锥中的点数与总点数之比再乘以８得到的就是冰淇淋锥的体积．将该结果与１中的结果进行比较；
３．类似的方法可以计算复杂区域的测度（面积或体积）．试求由下列关系所界定区域的测度：
?0?x?1,1?y?2,?1?z?3?ex?y（１）?
?ysinz?0??1?x?3,?1?y?4?（２）?x3?y3?29
?y?ex?2??0?x?1,0?y?1,0?z?1?x2?siny?z（３）?
?x?z?ey?1?