例 6 2009年江西省中考第25题 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°． （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x． ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，△PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分． 当N在DC上时，△PMN的形状发生变化，但是△CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM＝PN”、“MP＝MN”和“NP＝NM”，可以显示△PMN为等腰三角形． 思路点拨 1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF＝4，这是x的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等． 2．当点N在线段AD上时，△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要． 3．分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题． 满分解答 （1）如图4，过点E作EG⊥BC于G． 在Rt△BEG中，BE?1AB?2，∠B＝60°， 2所以BG?BE?cos60??1，EG?BE?sin60??3． 所以点E到BC的距离为3．
（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4． ①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变． 过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q． 在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3． 在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x． 所以BG＝PQ＝1． 因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7． 在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4． 因此△PMN的周长为3＋7＋4． 图4 图5 ②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形． 如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上． 在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3． 此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2． 如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3． 如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合． 此时x＝4． 综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形． 图6 图7 图8
考点伸展 第（2）②题求等腰三角形PMN可以这样解： 如图8，以B为原点，直线BC为x轴建立坐标系，设点M的坐标为（m，0），那么点P的坐标为（m，3），MN＝MC＝6－m，点N的坐标为（22m?63(6?m)，）． 22由两点间的距离公式，得PN?m?9m?21． 2当PM＝PN时，m?9m?21?9，解得m?3或m?6．此时x?2． 当MP＝MN时，6?m?3，解得m?6?3，此时x?5?3． 22当NP＝NM时，m?9m?21?(6?m)，解得m?5，此时x?4．