南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上. 1.已知集合A??1,3?,B??1,2,m?,若A?B,则实数m= ▲ . 2.若(1?2i)i?a?bi(a,b?R,i为虚数单位),则ab= ▲ . 3.若向量a?(2,3),b?(x,?6),且a∥b,则实数x= ▲ . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直
方
图
如
图
所
示
(
成
绩
分
组
为
频率组距 0.030 0.025 0.015 0 50 60 70 80 90 100 成绩
第5题
[0,10),[10,20),???,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中,得分不低
于80分以上的人数为 ▲ .
6.在?ABC中,已知sinA:sinB:sinC?2:3:4,则cosC? ▲ .
7.根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值 为 ▲ .
8.已知四边形ABCD为梯形, AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).
9.函数f(x)?(x?x?1)e(x?R)的单调减区间为 ▲ .
2xRead a S?0 I?1 While I≤3 S?S＋a a?a×2 I?I＋1 End While Print S 第7题
10.已知f(x)?a?▲ .
12?1x是定义在(??,?1]?[1,??)上的奇函数, 则f(x)的值域为
11.记等比数列
?an?的前
n项积为Tn(n?N),已知am?1am?1?2am?0,且T2m?1?128,
*则m? ▲ .
12.若关于x的方程kx?1?lnx有解,则实数k的取值范围是 ▲ . 13.设椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲ .
14.设a?x?xy?y,b?p22xy,c?x?y,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三边长的三角形,
则实数p的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)
已知函数f(x)?3sinxcosx?cosx?212(x?R).
(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0,?4]上的函数值的取值范围.
16．(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA?PC,E为PB的中点. (1)求证:PD∥面AEC；
(2)求证:平面AEC?平面PDB.
17．(本小题满分14分)
A 第16题
P
E
D C B
在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其
中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米(1?t?32)；
曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y?cosx?1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为
98,此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).
(1)试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；
(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?
y O A D x B 第17题
C
18．(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点A为椭圆
????????BP?DA.
(1)求直线BD的方程；
x29?2y92?1的右顶点, 点D(1,0),点P,B在椭圆上,
(2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长；
(3)是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.
19．(本小题满分16分)
对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a?x)?f(a?x)?b对定义域中的每一个x都成立,
则称函数f(x)是“(a,b)型函数”.
(1)判断函数f(x)?4x是否为“(a,b)型函数”，并说明理由；
(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”, 当x?[0,2]时,都有1?g(x)?3成立,且当x?[0,1]时,
g(x)?x?m(x?1)?1(m?0),若,试求m的取值范围.
2y B P · D 0 A x 第18题
20．(本小题满分16分)
**已知数列?an?满足a1?a(a?0,a?N),a1?a2?????an?pan?1?0(p?0,p??1,n?N).
(1)求数列?an?的通项公式an；
(2)若对每一个正整数k,若将ak?1,ak?2,ak?3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为dk.
①求p的值及对应的数列?dk?．
②记Sk为数列?dk?的前k项和，问是否存在a,使得Sk?30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值；若不存在,请说明理由．
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定
区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
如图，?O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交?O于点E，过E 点的圆的切线交CA的延长线于P.
B
2求证：PD?PA?PC.
B．（选修4—2：矩阵与变换）
?1??10??12?，若矩阵AB对应的变换把直线l：x?y?2?0变为直线l'，求,B?已知矩阵A?????02??01??直线l'的方程.
C
· O
D E
A
P
C．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为??42cos(??平面直角坐标系，直线l的参数方程为?D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x、y、z均为正数，求证：
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）
如图所示,在棱长为2的正方体AC1中,点P、Q分别在棱BC、CD上,满足B1Q?D1P,且PQ?(1)试确定P、Q两点的位置.
(2)求二面角C1?PQ?A大小的余弦值.
?4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立
?x?t?1?y?t?1（t为参数），求直线l被?C截得的弦AB的长度.
3111(??)?3xyz1x2?1y2?1z2.
2.
A1 B1 C1 D1
A B P Q C D
第22题
23．（本小题满分10分）
已知整数n≥4,集合M??1,2,3,???,n?的所有3个元素的子集记为A1,A2,???,A3.
Cn(1)当n?5时,求集合A1,A2,???,A3中所有元素之和.
C5(2)设mi为Ai中的最小元素,设Pn=m1?m2?????mC3,试求Pn.
n
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 2 3. －4 4.10.[?32,?12)?(12 5.120 6.?14 7.21 8.充分不必要 9.(?2,?1)(或闭区间)
131,] 11.m?4 12.(??,2] 13.5?2 14. (1,3) 22e
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)因为f(x)?2? ?sin(x32sin2x?12cos2x……………………………………………………………4分
?6 )……………………………………………………………………………………………6分
故f(x)的最小正周期为?………………………………………………………………………………8分 (2)当x?[0,?4]时,2x??6?[???6,3]…………………………………………………………………10分
]………………………………………………………………………………14分
2216．（1）证明:设AC?BD?O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以PD∥EO…………4分
,故所求的值域为[?13 而PD?面AEC,EO?面AEC,所以PD∥面AEC…………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA?PC,所以AC?PO,又四边形ABCD是菱形,所以AC?BD…………10分
而PO?面PBD,BD?面PBD,PO?BD?O,所以AC?面PBD……………………………13分 又AC?面AEC,所以面AEC?面PBD……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y?cosx?1,所以点D的坐标为(t,cost?1)……2分
所以点O到AD的距离为1?cost,而AB?DC?3?t, 则h1(t)?(3?t)?(1?cost)??t?cost?4(1?t?对于曲线C2,因为抛物线的方程为x??232)…………………………………………………4分 49x,所以点D的坐标为(t,?49t?t?3(1?t?2294y,即y??49t)………2分
2所以点O到AD的距离为
49t,而AB?DC?3?t,所以h2(t)?32232)……………7分
(2)因为h1?(t)??1?sint?0,所以h1(t)在[1,]上单调递减,所以当t?1时,h1(t)取得最大值
为3?cos1…………………………………………………………………………………………………9分 又h2(t)?
49(t?98)?23916,而1?t?32,所以当t?32时,h2(t)取得最大值为
52……………………11分