因为cos1?cos?3?12,所以3?cos1?3?312?52,
5 故选用曲线C2,当t?22????????18．解: (1)因为BP?DA,且A(3,0),所以BP?DA=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,
从而得P(1,2),B(?1,2)……………………………………………………………………………………3分
时,点E到BC边的距离最大,最大值为
分米……………………………14分
所以直线BD的方程为x?y?1?0………………………………………………………………………5分 (2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为y?x?1, 所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r?又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d?2210……………………………………………………8分
2,所以直线BD被圆C截得的弦长
为2r?d?42 ……………………………………………………………………………………10分 (3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线y?x?1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………………………………………………………………12分 设M(0,b),则N(2,4?b),根据N(2,4?b)在直线y?x?1上,
解得b?3…………………………………………………………………………………………………14分 所以M(0,3),N(2,1),PM?PN?22222,故存在这样的两个圆,且方程分别为
x?(y?3)?2,(x?2)?(y?1)?2………………………………………………………………16分
19．解: (1)函数f(x)?4x是“(a,b)型函数”…………………………………………………………2分 因为由f(a?x)?f(a?x)?b,得16a?b,所以存在这样的实数对,如a?1,b?16………………6分 (2) 由题意得,g(1?x)g(1?x)?4,所以当x?[1,2]时, g(x)?4g(2?x),其中2?x?[0,1],
m2而x?[0,1]时,g(x)?x2?m(1?x)?1?x2?mx?m?1?0,且其对称轴方程为x?① 当
m2,
?1,即m?2时,g(x)在[0,1]上的值域为[g(1),g(0)],即[2,m?1],则g(x)在[0,2]上的值域
44?m?1?3?,2]?[,m?1],由题意得?4为[2,m?1]?[,此时无解………………………11分 m?1m?1?1?m?1?②当
12?m2?1,即1?m?2时,g(x)的值域为[g(m2),g(0)],即[m?1?m42,m?1],所以则g(x)在
4??322?mm44?m?1?,m?1]?[,],则由题意得且[0,2] 上的值域为[m?1??24m4m?1?m?1?m?1?3?4?2?mm?1??1??4,解得1?m?2……………………………………………………………………13分 ?4??1??m?1③ 当0?m2?12,即0?m?1时,g(x)的值域为[g(m2),g(1)],即[m?1?m42,2],则g(x)在[0,2]上
的值域为[m?1?m42,2]?[2,4m?1?m42]=[m?1?m42,4m?1?m42],
??m?1??则?4??m?1??m4m42?1?3,解得2?263?m?1.
2综上所述,所求m的取值范围是2?263?m?2…………………………………………………16分
20．解:(Ⅰ)因为a1?a2?????an?pan?1?0,所以n?2时, a1?a2?????an?1?pan?0,两式相减,得
an?1an?p?1p(n?2),故数列?an?从第二项起是公比为
p?1p的等比数列…………………………3分
又当n=1时,a1?pa2?0,解得a2?app?1papap(2)①由(1)得ak?1?()k?1,ak?2?a?(n?1)?,从而an??ap?1n?2…………………………5分
()(n?2)?pp?p?1kap?1k?1(),ak?3?(), pppp?1pp?1pp?1p?1或
p?1p??2,解得p??13[1]若ak?1为等差中项,则2ak?1?ak?2?ak?3,即
…………6分
k?1kk?1此时ak?1??3a(?2),ak?2??3a(?2),所以dk?|ak?1?ak?2|?9a?2……………………8分
[2]若ak?2为等差中项,则2ak?2?ak?1?ak?3,即[3]若ak?3为等差中项,则2ak?3?ak?1?ak?2,即此时ak?1??3a2(?112)k?1?1,此时无解………………………………9分 ?1或
p?1p??12,解得p??9a23,
,ak?3??3a2(?12)k?1,所以dk?|ak?1?ak?3|?9a1k?1?()……………11分 821k?1?()…………………………………12分
3382110k ②[1]当p??时,Sk?9a(2?1),则由Sk?30,得a?, k33(2?1)综上所述,p??k?1, dk?9a?2或p??2,dk?当k?3时, [2]当p??103(2?1)23k?1,所以必定有a?1,所以不存在这样的最大正整数……………………14分
9a1k(1?()),则由Sk?30,得a?423k3(1?())240a?13满足Sk?30恒成立；但当a?14时,存在k?5,使得a?即Sk?30,
1k3(1?())2所以此时满足题意的最大正整数a?13……………………………………………………………16分
时,Sk?401,因为
401k3(1?())2?40,所以
数学附加题部分
21．A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为
OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC，
故PD2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分 ?1B. 易得AB???0?0?1?? ?2??01??1???2??1??01?2?……3分, 在直线l上任取一点P(x?,y?)，经矩阵AB变换为 ?2???x??1点Q(x,y)，则????y??0?1?1?1?1??x?y??x??x???x??y???x?x??y??4?，∴?，即?……………8分 2???22??y?????y?2y??y??y2??2y?????21y代入x??y??2?0中得x?y??2?0,∴直线l?的方程为4x?y?8?0…………………10分
42C. 解：?C的方程化为??4cos??4sin?，两边同乘以?，得?2?4?cos??4?sin?
由?2?x2?y2, x??cos?, y??sin?,得x2?y2?4x?4y?0………………………………5分 其圆心C坐标为(2,2)，半径r?22,又直线l的普通方程为x?y?2?0, ∴圆心C到直线l的距离d?22?1x22,∴弦长AB?28?2?26……………………………10分 ?1y2D. 证明:由柯西不等式得(12?12?12)( 则3?12?1z)?(21x?1y?1z2)……………………………………5分
xyzxyzxyz????????????22. 解:(1)以AB, AD, AA1为正交基底建立空间直角坐标系A?xyz,设CP?a (0?a?2),
?????????222则CQ?2?a, P(2,2?a,0), Q(2?2?a,2,0),B1Q?(?2?a,2,?2),D1P?(2,?a,?2),
?????????2∵B1Q?D1P,∴B1Q?D1P?0，∴?22?a?2a?解得a?1……………………………4分 4?0，
?12?12?1?1?1,即
3111(??)?3xyz12?12?12………………………10分
∴PC=1,CQ=1,即P、Q分别为BC, CD中点…………………………………………………………5分
?????????????????????(2)设平面C1PQ的法向量为n?(a,b,c)，∵PQ?(?1,1,0), PC1?(0,1,2),又n?PQ?n?PC1?0，
???a?b?0∴?，令c??1，则a?b?2,n?(2,2,?1)………………………………………………8分
b?2c?0????11∵k?(0,0,?2)为面APQ的一个法向量,∴cos?n,k??,而二面角为钝角,故余弦值为?……10分
33223.（1）解：当n?5时，含元素1的子集有C4?6个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,
2 于是所求元素之和为(1?2?3?4?5)?C4?6?15?90……………………………………………5分 2 （2）证明:不难得到1?mi?n?2, mi?Z，并且以1为最小元素的子集有Cn?1个，以2为最小元素的
222子集有Cn?2个，以3为最小元素的子集有Cn?3，…，以n?2为最小元素的子集有C2个,
则Pn?m1?m2???mC?1?Cn?1?2Cn?2?3Cn?3???(n?2)C2………………………………8分
22223n?(n?2)C2?(n?3)C3?(n?4)Cn???Cn?1?C2?(n?3)(C2?C3)?(n?4)C4???Cn?1 ?C2?(n?3)(C3?C3)?(n?4)C4???Cn?1?C2?(n?3)C4?(n?4)C4???Cn?1 ?C2?C4?(n?4)(C4?C4)???Cn?1?C2?C4?(n?4)C5???Cn?1
23322233243334232222322222222222?C4?C4?C5???Cn?Cn?1……………………………………………………………………10分
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